Théorie

1. Implication

Considérons plusieurs propositions relevant respectivement d’un contexte géométrique, arithmétique et de la vie courante.

• : Les diagonales du quadrilatère se coupent en leur milieu.

• : Le quadrilatère est un parallélogramme.

• : est un naturel multiple de 4.

• : est un naturel multiple de 2.

• : Il pleut.

• : Ma pelouse est arrosée.

Ces propositions sont susceptibles d’être vraies ou fausses. Mais au regard de celles-ci, on constate que

Ce qui peut se lire de différentes façons:

• implique

• Si la proposition est vraie, alors la proposition est vraie (si , alors )

• La proposition est vraie seulement si la proposition est vraie ( seulement si )

• La proposition est une condition nécessaire à la réalisation de la proposition ( est CN à )

L’implication est transitive, ce qui veut dire que si et que ,alors .

Réciproque

La réciproque de l’implication est l’implication . Ce qu’on peut lire de différentes façons:

• implique

• La proposition est vraie si la proposition est vraie ( si )

• La proposition est une condition suffisante à la réalisation de la proposition ( est CS à )

Ce n’est pas parce qu’une implication est vraie que sa réciproque l’est aussi. Dans les trois exemples considérés :

Ce n’est pas parce que “ma pelouse est arrosée” que cela est du à la pluie. L’arrosage peut être artificiel. Ce n’est pas parce qu’un nombre (6 par exemple) est multiple de 2, qu’il est multiple de 4.

Contraposée

Si on note , la négation de la proposition , la contraposée de est . On nie donc les affirmations et et on renverse le sens de l’implication. Si une implication est vraie, la contraposée est vraie également, ce qui fait bien comprendre le sens de la condition nécessaire. Par exemple, comme “ est un naturel multiple de 4”, implique que “ est un naturel multiple de 2”; si n’est pas multiple de 2, il n’est certainement pas multiple de 4. Ou encore si “ma pelouse n’est pas arrosée”, c’est nécessairement “qu’il ne pleut pas”.

Équivalence

Dans les cas où

on parde d’équivalence et on note

Ce qu’on peut lire de différentes façons:

• Les propositions et sont équivalentes

• La proposition est vraie si et seulement si la proposition est vraie ( si et seulement si )

• La proposition est une condition nécessaire et suffisante à la réalisation de la proposition ( est CNS à )

2. Démonstration

Démontrer consiste à déduire qu’une proposition appelée thèse est vraie, en partant de propositions appelées hypothèses que l’on suppose être vraies le temps de la démonstration. Pour démontrer, on s’appuie également sur des propositions mathématiques qui sont vraies parce qu’elles sont admises comme telles ou parce qu’elles ont été démontrées auparavant. Les propositions admises sont des axiomes, celles qui sont démontrées sont des théorèmes.

Soit à démontrer que .

Hypothèses : est un quadrilatère (sous-entendu plan) Les diagonales se coupent en leur milieu.

Thèse : est un parallélogramme

La thèse se réfère à la définition de parallélogramme comme étant un quadrilatère formé de deux paires de côtés parallèles. La démonstration repose sur diverses propriétés comme un axiome, le premier cas d’isométrie des triangles (Côté-Angle-Côté) et un théorème qui dit que si deux droites coupent une troisième en formant des angles alternes internes de même amplitude, alors elles sont parallèles.

Pour prouver une équivalence comme , on démontre souvent les deux implications l’une après l’autre.

Comme nous l’avons déjà mentionné, est la Condition Nécessaire. Ce qui exprime que si n’est pas vraie, ne l’est pas non plus. Tandis que est la Condition Suffisante. Ce qui exprime que vraie suffit à rendre vraie.

Pièges

Par essence, la démonstration est déductive et les étapes se succèdent en respectant les règles logiques, ce que certains appellent l’hygiène du mathématicien.

Un premier piège pour le débutant consiste à utiliser la thèse dans la démonstration. C’est-à-dire qu’on utilise le résultat pour le prouver. Dans l’exemple du quadrilatère qui a des diagonales qui se coupent en leur milieu, il n’est pas rare de voir un apprenti géomètre se servir erronément du parallélisme de deux côtés pour en déduire que des angles alternes internes ont même amplitude et que des côtés sont parallèles…

Un autre piège consiste à affirmer une chose et son contraire au sein de la même démonstration. Le principe de non-contradiction est à la base de toute théorie mathématique. Aristore l’aurait formulé sous la forme : “il est impossible qu’une seule et même chose soit, et tout à la fois ne soit pas, à une même autre chose, sous le même rapport”.

Des négations particulières méritent notre attention. Pour prouver qu’une propriété n’est pas vraie pour toutes les valeurs de , il suffit de trouver une valeur de pour laquelle la propriété n’est pas satisfaite. En mathématiques, cela se passe très différemment de ce qu’on observe dans de nombreux domaines de la vie courante où il faut de nombreux contre exemples pour faire tomber une vérité. Par ailleurs, pour nier qu’une propriété qui est vraie pour une valeur de , il suffit de prouver que pour toutes les valeurs de la propriété n’est pas satisfaite.

Envisageons maintenant différents types de démonstration…

Directe

Cela consiste à démontrer la proposition énoncée en partant directement des hypothèses données pour en arriver à la thèse par une suite d’implications logiques.

Pour prouver que , sachant que est l’hypothèse et que est la thèse, commençons par traduire l’hypothèse :

Ce qui veut encore dire que

Ce qui prouve la thèse, à savoir que est un multiple de 2.

Par l’absurde

Cela consiste à supposer le contraire de la proposition énoncée et de montrer qu’on aboutit alors à une contradiction ou impossibilité.

Pour prouver que le nombre est irrationnel, on suppose que ce n’est pas le cas, c’est-à-dire qu’il peut s’exprimer sous forme de fraction de naturels:

Il en résulte que

Ce qui veut dire que est pair. Mais le carré d’un naturel pair est pair et inversement. D’où il existe un naturel tel que , et l’égalité (1) devient

Il en résulte que est pair. Mais le carré d’un naturel pair est pair et inversement. D’où il existe un naturel tel que , et l’égalité (2) devient

Et ainsi de suite… Indéfiniment. Ce qui n’est pas possible puisque et sont naturels et limités, on ne peut pas les diviser indéfiniment par 2. Il faut donc rejeter l’hypothèse faite à savoir que puisse être rationnel.

Par contraposée

Démontrer que , c’est équivalent à démontrer que .

Pour démontrer que “Si le dernier chiffre d’un nombre naturel est 2 alors n’est pas le carré d’un entier”, on peut démontrer que si est le carré d’un naturel alors son dernier chiffre n’est pas 2. En effet, si se termine

• par 1 ou 9, son carré se termine par 1.

• par 2 ou 8, son carré se termine par 4.

• par 3 ou 7, son carré se termine par 9.

• par 2 ou 8, son carré se termine par 4.

• par 4 ou 6, son carré se termine par 6.

• par 5, son carré se termine par 5.

• par 0, son carré se termine par 0.

Et jamais un carré ne se termine par 2.

Par récurrence

Pour prouver qu’une propriété est vraie , on démontre qu’elle est vraie pour et que si elle est vraie pour , cela implique qu’elle est vraie pour .

Soit à démontrer par exemple que la somme des carrés des premiers naturels est égale à , c’est-à-dire que

Pour , la propriété est vraie car

Si la propriété est vraie pour , alors

Si on réduit au même dénominateur les deux termes du dernier membre de l’égalité, puis qu’on met en évidence, on obtient

On peut factoriser et finalement obtenir

Ce qui prouve que l’égalité est vraie pour .