Théorie¶

Les fonctions réciproques¶

1. Rappels¶

Une fonction est une relation entre deux ensembles telle que chaque nombre ait maximum une image.

$\text{[math]}$ existe $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ au moins un $\text{[math]}$ pour lequel $\text{[math]}$

Pour que la réciproque de $\text{[math]}$ soit une fonction, il faut qu’à chaque élément de $\text{[math]}$ corresponde un seul élément du domaine de $\text{[math]}$ .

Si ce n’est pas le cas, il faut restreindre le domaine de $\text{[math]}$ pour la rendre bijective ( c-à-d qu’à chaque élément du domaine corresponde un seul élément de l’ensemble image et réciproquement).

2. Définition¶

Si $\text{[math]}$ est une bijection de A vers B (avec A $\text{[math]}$ et B $\text{[math]}$ )

alors $\text{[math]}$ existe et est une bijection de B vers A telle que si $\text{[math]}$ .

Le graphe d’une réciproque s’obtient dans un repère orthonormé par une symétrie orthogonale d’axe $\text{[math]}$ , ce qui a pour effet d’inverser les axes et d’envoyer un point (a,b) sur un point (b,a).

Pour trouver l’ équation d’une réciproque, on intervertit $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ dans l’expression de $\text{[math]}$ et on résout l’équation en $\text{[math]}$ .

Attention: l’exposant -1 a 2 significations; c’est le contexte qui précise si $\text{[math]}$ est l’inverse ou la réciproque de $\text{[math]}$ . C’est ce dernier sens qui est le plus fréquent.

3. Dérivée d’une fonction réciproque¶

On peut démontrer ce résultat

algébriquement, en utilisant le fait que la composée d’une fonction et de sa réciproque est l’identité et en dérivant les deux membres de l’égalité.
géométriquement, en utilisant le fait que, les deux graphes étant symétriques, leurs tangentes à des points correspondants le sont aussi et donc que leurs pentes sont inverses.