2.3 Propriétés des fonctions continues
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Commençons avec un exemple :

**Exemple 2.3.1.** Considérons les deux fonctions :

.. math::

   \begin{aligned}
       f : [1,3] &\to \mathbb{R}\\
       x &\mapsto (x-2)^2 - 1
       \end{aligned}

et

.. math::

   \begin{aligned}
       g : [1,3] &\to \mathbb{R}\\
       x &\mapsto -\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}
       \end{aligned}

dont les graphes sont les suivants :

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
		\draw[thick,blue] plot[domain=1:3](\x,{-1+2*(\x-2)^(2)});
		\draw[thick,red] plot[domain=1:3](\x,{1.5-(0.5)*(\x)});

| Ces deux fonctions sont continues : leurs graphes peuvent être tracés
  d’un seul trait, il n’y a pas de saut vertical.
| Que se passe-t-il si on additionne ces deux fonctions, autrement dit
  si on considère la fonction :math:`f+g` ? Au niveau des graphes, cela
  revient à additionner les ordonnées des points des graphes de
  :math:`f` et :math:`g` qui ont la même abscisse.

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
		\draw[thick] plot[domain=1:3](\x,{-1+2*(\x-2)^(2)+1.5-(0.5)*(\x)});

Sans surprise, aucune discontinuité n’est apparue. En additionnant deux
fonctions continues, on a obtenu une nouvelle fonction continue. Ce
n’est pas un hasard, comme l’indique la proposition suivante.

| 

**Proposition 2.3.2.** Soit :math:`I` un intervalle éventuellement privé d’un point. Soient
:math:`f : I \to \mathbb{R}` et :math:`g : I \to \mathbb{R}` deux
fonctions continues. Alors :

#. La fonction :math:`f+g : I \to \mathbb{R}` est continue.

#. La fonction :math:`f-g : I \to \mathbb{R}` est continue.

#. La fonction :math:`f.g : I \to \mathbb{R}` est continue.

#. La fonction
   :math:`\frac{f}{g} : \{x \in I ~|~ g(x) \neq 0\} \to \mathbb{R}` est
   continue.

*Démonstration* Pas en math 4. Voir annexe pour les curieux.

De manière éventuellement plus surprenante, la composée de deux
fonctions continues (compatibles) est également toujours une fonction
continue :

**Proposition 2.3.3.** Soit :math:`I,J` deux intervalles. Soient
:math:`f : I \to \mathbb{R}` et :math:`g : J \to \mathbb{R}` deux
fonctions continues telle que
:math:`\mathop{\mathrm{im}}(g) \subseteq I`. Alors :
:math:`f \circ g : J \to \mathbb{R}` est continue.

*Démonstration* Pas en math 4.

Une dernière opération qui conserve la continuité est la **restriction** :

**Définition 2.3.4.** Soit :math:`I` un intervalle éventuellement privé d’un point. Soit
:math:`f : I \to \mathbb{R}`.
Soit :math:`A \subseteq I`. Alors la **restriction** de :math:`f` sur
:math:`A` est la fonction :

  .. math::

     \begin{aligned}
         f_{|A} : A &\to \mathbb{R}\\
         x &\mapsto f(x)
         \end{aligned}

| 

**Exemple 2.3.5.** Soit la fonction :

  .. math::

    \begin{aligned}
        f : [-4,3] &\to \mathbb{R}\\
        x &\mapsto x+1
        \end{aligned}

dont le graphe est :

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
		\draw[thick] plot[domain=-4:3](\x,{1+ \x });

La restriction de :math:`f` sur, par exemple,
:math:`[-4,-3[ \cup \{-2\} \cup [-1,1]`, est la fonction :

.. math::

   \begin{aligned}
       f_{[-4,-3[ \cup \{-2\} \cup [-1,1]} : [-4,-3[ \cup \{-2\} \cup [-1,1] &\to \mathbb{R}\\
       x &\mapsto x+1
       \end{aligned}

et son graphe est :

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
		\draw (-4,-3)node{$\bullet$};
		\draw[thick] plot[domain=-4:-3.1](\x,{1+(\x)});
		\draw (-2,-1)node{$\bullet$};
		\draw[thick, fill=white](-3,-2)circle(0.2);
		\draw (-1,0)node{$\bullet$};
		\draw[thick] plot[domain=-1:1](\x,{1+(\x)});
		\draw (1,2)node{$\bullet$};

| 

Comme annoncé, la restriction d’une fonction continue est toujours
continue :

**Proposition 2.3.6.** Soit :math:`I` un intervalle éventuellement privé d’un point.
Soit :math:`f : I \to \mathbb{R}` une fonction continue. Soit
:math:`A \subseteq I`.
Alors la *restriction* de :math:`f` sur :math:`A` est continue.

*Démonstration* Pas en math 4. Notons néanmoins que la démonstration est extrêment
simple.

Grâce au théorème 2.2.1, nous savons que toutes les
fonctions de référence sont continues. 
Or, les propositions
2.3.2, 2.3.3 et 2.3.6 nous disent que
lorsqu’on combine deux fonctions continues selon une des opérations
sur les fonctions les plus simples, nous pouvons être certains que le
résultat est lui aussi une fonction continue. 
Ainsi, nous sommes à
présent capables de justifier la continuité de nombreuses fonctions.  

| 

**Exercice 2.3.7.** Les fonctions suivantes sont-elles continues ? Si oui, justifier. Si
non, faire le graphe de la fonction et donner l’ensemble des points de
discontinuité.

.. inginious:: cont2_1
.. inginious:: cont2_2
.. inginious:: cont2_3
.. inginious:: cont2_4
.. inginious:: cont2_5
.. inginious:: cont2_6
.. inginious:: cont2_7
.. inginious:: cont2_8