3 Limites de fonctions
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.. _définition-et-exemples-1:

3.1 Définition et exemples
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Pour découvrir la notion de limite qui est la formalisation de l’idée
intuitive se rapprocher de (de façon définitive et uniforme) ,
commençons avec un exemple :

**Définition 3.1.1.** Soit la fonction

.. math::

   \begin{aligned}
       f : \mathbb{R}&\to \mathbb{R}\\
       x &\mapsto \begin{cases}
           x^3 +1 & \text{si } x \neq 0  \\
           0 & \text{si } x = 0
           \end{cases}
       \end{aligned}

Son graphe est le suivant :

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
			\draw[thick] plot[domain=0.05:1.5874](\x,{1+\x*\x*\x});
      \draw[thick] plot[domain=-1.8171:-0.05](\x,{1+\x*\x*\x});
			\draw[thick, fill=white](0,1)circle(0.15);
			\draw (0,0)node{$\bullet$};

Au fur et à mesure que la variable :math:`x` se rapproche de :math:`0`,
de quelle valeur se rapproche :math:`f(x)` ? Pour nous aider à y voir
plus clair, évaluons la fonction :math:`f` en plusieurs nombres qui se
rapprochent de :math:`0` :

.. hlist::
   :columns: 2

   * :math:`f(\frac{1}{10}) = \frac{1}{1000}+1 =1,001`

   * :math:`f(\frac{1}{100}) = \frac{1}{1000000}+1 = 1,000001`

   * :math:`f(\frac{1}{1000}) = \frac{1}{1000000000} =1,000000001`

   * :math:`f(-\frac{1}{10}) = -\frac{1}{1000}+1 = 0,999`

   * :math:`f(-\frac{1}{100}) = -\frac{1}{1000000}+1 = 0,999999`

   * :math:`f(-\frac{1}{1000}) = -\frac{1}{1000000000}+1 = 0,999999999`

| 

| Plus la variable :math:`x` se rapproche de :math:`0`, plus
  :math:`f(x)` se rapproche de :math:`1` et ce de manière uniforme et
  définitive : non seulement on se rapproche de cette valeur :math:`1`
  aussi bien par la droite que par la gauche , mais ce rapprochement se
  fait autant que possible (sans pour autant que la fonction ne prenne
  jamais la valeur :math:`1`) : les valeurs de :math:`f(x)` se
  rapprochent autant qu’on le souhaite de la valeur :math:`1` à
  condition que les valeurs de :math:`x` soient assez proches de
  :math:`0`.

| Pour préciser cette idée intuitive, on peut se donner un petit test
  pour vérifier si la fonction :math:`f` se rapproche bien de :math:`1`
  quand les :math:`x` se rapprochent de :math:`0` : si on se fixe une
  certaine marge d’erreur autour de :math:`1` (par exemple une marge
  d’erreur de :math:`\frac{1}{1000000}`), les valeurs de la fonction
  :math:`f(x)` ne s’éloignent pas de :math:`1` d’une distance supérieure
  à l’erreur fixée à condition que les :math:`x` choisis soient assez
  proches de :math:`0` (avec une marge d’erreur de
  :math:`\frac{1}{1000000}`, les :math:`x` disponibles sont ceux ne
  s’éloignant pas de :math:`0` de plus de :math:`\frac{1}{100}`). 
  Si la
  fonction :math:`f` se rapproche bien de :math:`1` quand les :math:`x`
  se rapprochent de :math:`0`, alors ce test devrait fonctionner quel
  que soit la marge d’erreur (non nulle) qu’on s’est donnée, même si
  celle-ci est extrêmement petite. Cette idée relativement naturelle
  mais complexe est en fait la définition rigoureuse de la notion de
  limite.

| 

**Définition 3.1.2.** Soit un intervalle :math:`I` éventuellement privé d’un point :math:`c`. Soit :math:`f : I \to \mathbb{R}`.

  On dit que :math:`f` a *une limite* :math:`L \in \mathbb{R}` en
  :math:`c` si pour toute marge d’erreur :math:`\epsilon >0`, il existe
  :math:`\delta > 0` tel que pour tout :math:`x \in I \backslash \{c\}`
  qui est à une distance plus petite ou égale de :math:`c` que
  :math:`\delta`, c’est-à-dire tel que :math:`|x-c| \le \delta`, on a
  nécessairement que :math:`f(x)` est à une distance plus petite ou
  égale de :math:`L` que :math:`\epsilon`, c’est-à-dire qu’on a
  :math:`|f(x)-L| \le \epsilon`.
  Dans ce cas, on note :

  .. math:: \lim\limits_{x \to c} f(x)=L

| 

**Exemple 3.1.3.** La fonction

.. math::

   \begin{aligned}
       f : \mathbb{R}&\to \mathbb{R}\\
       x &\mapsto \begin{cases}
           x^3 +1 & \text{si } x \neq 0  \\
           0 & \text{si } x = 0
           \end{cases}
       \end{aligned}

a comme limite :math:`1` en :math:`0`. On note :
:math:`\lim\limits_{x \to 0} f(x)=1`

**Remarque 3.1.4.** Notons que dans l’exemple ci-dessus, la fonction :math:`f` possède une
limite en :math:`1` qui vaut :math:`0` mais est également définie en
:math:`0` de telle sorte que :math:`f(0)=0`. Il est important de
comprendre qu’une limite d’une fonction en un point (si elle existe)
n’est pas toujours égale à la valeur de la fonction en ce point (la
fonction peut même ne pas être définie en ce point). C’est d’ailleurs
tout l’intérêt de la notion de limite : elle permet de parler d’une
valeur de laquelle se rapproche une fonction en un point sans que cette
fonction ne soit jamais égale à cette valeur.

| 

Voici à présent un théorème important mais que nous ne pourrons
malheureusement pas démontrer :

**Théorème 3.1.5.** Soit un intervalle :math:`I` éventuellement privé d’un point
:math:`c`. Soit :math:`f : I \to \mathbb{R}`.
Si :math:`f` possède une limite en :math:`c`, alors cette limite est
unique.

  Il fait donc sens de parler de LA limite d’une fonction en un point.
  Ce théorème ne devrait pas vous surprendre : si on se rapproche de
  manière uniforme et définitive d’un endroit, on ne peut pas en même
  temps se rapprocher de manière uniforme et définitive d’un autre
  endroit.
 
| Donnons à présent quelques exemples de limites de fonction pour
  visualiser cette nouvelle notion.

| 

**Exemple 3.1.6.** Soit la fonction carrée, dont le graphe est :

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
			\draw[thick] plot[domain=-2.2361:2.2361](\x,{\x*\x});

| Cette fonction possède une limite en :math:`2` et cette limite vaut
  :math:`4` : :math:`\lim\limits_{x \to 2} x^2 = 4`.
| Pour cette fonction, notons qu’on a
  :math:`\lim\limits_{x \to 2} x^2 = f(2)`.

**Exemple 3.1.7.** Soit la fonction dont le graphe est :

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
			\draw[thick] plot[domain=-5:-3.05](\x,{\x});
    \draw[thick] plot[domain=-2.95:4](\x,{1+\x});
			\draw[thick, fill=white](-3,-3)circle(0.15);
			\draw (-3,-2)node{$\bullet$};

Cette fonction ne possède pas de limite en :math:`-3` : quand les
:math:`x` se rapprochent de :math:`-3`, les :math:`f(x)` ne se
rapprochent pas uniformément d’un unique nombre (ils se rapproche de
:math:`-3` par la gauche et de :math:`-2` par la droite ).

**Exemple 3.1.8.** Soit la fonction dont le graphe est :

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[domain=-5:3.95](\x,{2+0.25*\x*cos(180*\x)});
    \draw[thick] plot[domain=4.05:5](\x,{2+0.25*\x*cos(180*\x)});
			\draw[thick, fill=white](4,3)circle(0.15);

La fonction n’est pas définie en :math:`4` mais elle possède néanmoins
une limite en :math:`4` : quand les :math:`x` se rapprochent de
:math:`4`, les :math:`f(x)` se rapprochent uniformément et
définitivement de :math:`3`. On note :
:math:`\lim\limits_{x \to 2} f(x) = 3`

| 

**Définition 3.1.9.** Soit la fonction dont le graphe est :

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[domain=0:1.95](\x,{sqrt(\x)});
    \draw[thick] plot[domain=2.05:5](\x,{sqrt(\x)});
			\draw[thick, fill=white](2,1.4142)circle(0.15);
			\draw (2,-3)node{$\bullet$};

La fonction n’est pas définie en :math:`4` mais elle possède néanmoins
une limite en :math:`4` : quand les :math:`x` se rapprochent de
:math:`4`, les :math:`f(x)` se rapprochent uniformément et
définitivement de :math:`3`. On note :
:math:`\lim\limits_{x \to 2} f(x) = 3`

| 

**Exercice 3.1.10.** À l’aide d’un graphique, déterminer si les limites suivantes existent.
Si oui, donner les valeurs de celles-ci.

.. inginious:: limite10_1
.. inginious:: limite10_2
.. inginious:: limite10_3
.. inginious:: limite10_4

| 

**Exercice 3.1.11.** Voici le graphe de la fonction :math:`f`. Déterminer si les limites
suivantes existent. Si oui, donner les valeurs de celles-ci.

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-7,-3) grid (7,4);

      \draw[very thick,->] (-7,0) -- (8,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-3) -- (0,5) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[domain=-7:-3,samples=100](\x,\x+5);
    \draw[thick] plot[domain=-3:0,samples=100](\x,0.45*\x*\x-2);
    \draw[thick] plot[domain=0:1.9457,samples=100](\x,{ln(1.95-\x)+2.3});
    \draw[thick] plot[domain=2.0543:7,samples=100](\x,{ln(\x-2.05)+2.3});
    \draw [thick] (-3,2) node[circle,fill=white,draw=black,inner sep=0.4mm] {};
    \draw [thick] (0,-2) node[circle,fill=black,draw=black,inner sep=0.4mm] {};
    \draw [thick] (0,3) node[circle,fill=white,draw=black,inner sep=0.4mm] {};


#. :math:`\lim\limits_{x\to -3} f(x)`

#. :math:`\lim\limits_{x\to -2} f(x)`

#. :math:`\lim\limits_{x\to 0} f(x)`

#. :math:`\lim\limits_{x\to 2} f(x)`

#. :math:`\lim\limits_{x\to 4} f(x)`

.. inginious:: limite11

| 

**Exercice 3.1.12.** Tracer le graphe d’une fonction :math:`f` définie sur
:math:`\mathbb{R}\backslash \{-3;0\}` qui n’a pas de limite en
:math:`-3` et qui a une limite en :math:`0` qui vaut :math:`3`.

**Solution.**

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[domain=-5:-3.05](\x,{-1*\x-1});
    \draw[thick, fill=white](-3,2)circle(0.15);
    \draw[thick, fill=white](-3,3)circle(0.15);
    \draw[thick] plot[domain=-2.90:-0.05](\x,{3});
    \draw[thick, fill=white](0,3)circle(0.15);
    \draw[thick] plot[domain=0.09:5](\x,{-1*\x+3});

| 

**Exercice 3.1.13.** Déterminer si les limites suivantes si elles existent.

.. inginious:: limite12_1
.. inginious:: limite12_2
.. inginious:: limite12_3
.. inginious:: limite12_4
.. inginious:: limite12_5
.. inginious:: limite12_6
.. inginious:: limite12_7
.. inginious:: limite12_8
.. inginious:: limite12_9
.. inginious:: limite12_10

| 

**Exercice 3.1.14.** Tracer le graphe d’une fonction :math:`f` ayant les propriétés suivantes
:

#. dom :math:`f=[-4,3] \backslash \{1;2\}`

#. :math:`f` est continue partout sauf en :math:`-2`.

#. :math:`f` n’a pas de limite en :math:`-2` et en :math:`2`

#. :math:`f` a une limite en :math:`-1` qui vaut :math:`2` et une limite
   en :math:`1` qui vaut :math:`2`

#. :math:`f(0)=3` et :math:`f(-2)=1`

#. :math:`f` a exactement deux racines et elles se trouvent entre
   :math:`1` et :math:`2`.

**Solution.**

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw (-4,-4)node{$\bullet$};
    \draw[thick] plot[domain=-4:-2.05](\x,{\x});
    \draw[thick, fill=white](-2,-2)circle(0.15);
    \draw (-2,1)node{$\bullet$};
    \draw[thick] plot[domain=-1.95:-0.05](\x,{1+0.5*(\x+2)*(\x+2)});
    \draw (0,3)node{$\bullet$};
    \draw[thick] plot[domain=0.05:0.95](\x,{-1*\x+3});
    \draw[thick, fill=white](1,2)circle(0.15);
    \draw[thick] plot[domain=1.09:1.95](\x,{(1+\x)*(cos(360*(\x-1)))});
    \draw[thick, fill=white](2,3)circle(0.15);
    \draw[thick, fill=white](2,-4)circle(0.15);
    \draw[thick] plot[domain=2.09:3](\x,{-4});
			\draw (3,-4)node{$\bullet$};