3.6 Limites et divergence de fonctions en :math:`+\infty` et :math:`-\infty`
----------------------------------------------------------------------------

| Jusqu’à présent, nous avons toujours parlé de limite ou de divergence
  d’une fonction :math:`f : I \to \mathbb{R}` en un point
  :math:`c \in \mathbb{R}`. Mais l’idée de limite (et de divergence)
  peut également être déclinée pour parler du comportement
  *asymptotique* d’une fonction, c’est-à-dire du comportement des
  nombres :math:`f(x)` pour des valeurs de l’argument :math:`x` qui
  deviennt de plus en plus grandes ou de plus en plus petites (grandes
  négativement).
| En fait, si nous avions introduit les limites et les divergences à
  l’aide des suites et non des fonctions continues, nous aurions
  commencé par ce type de limite et de divergence. L’idée fondamentale
  est la même que pour la limite d’une fonction en un point et est au
  moins aussi importante et utile.
| Une fois de plus, introduisons nos nouveaux concepts avec un exemple.

|

**Exemple 3.6.1.** Nous souhaiterions pouvoir parler du comportement asymptotique de la
fonction inverse, dont le graphe est pour rappel le suivant.

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[domain=-5:-0.2](\x,{1/(\x)});
    \draw[thick] plot[domain=0.2:5](\x,{1/(\x)});

|	

Nous aimerions savoir ce que deviennent les nombres :math:`f(x)` au fur
et à mesure que nous considérons des :math:`x` de plus en plus grands.
Voyons d’abord ce que vaut :math:`f(x)` pour certaines valeurs de
:math:`x` particulières qui sont de plus en plus grandes :

.. math:: f(10)=\frac{1}{10}= 0,1

.. math:: f(100)=\frac{1}{100}= 0,01

.. math:: f(1000)=\frac{1}{1000}= 0,001

.. math:: f(1000000)=\frac{1}{1000000}= 0,000001

.. math:: f(1000000000000000)=\frac{1}{1000000000000000}= 0,000000000000001

| Plus généralement, si nous divisons :math:`1` par des nombres positifs
  arbitrairement grands, le résultat sera un nombre positif
  arbitrairement proche de :math:`0`. Au fur à mesure que les abscisses
  :math:`x` des points du graphes grandissent, les ordonnées
  :math:`f(x)` associées se rapprochent uniformément et définitivement
  de :math:`0`. Nous retrouvons l’idée de limite : la nouveauté étant
  que nous observons le comportement de la fonction non pas à l’approche
  d’un point, mais son comportement pour des nombres de plus en plus
  grands.
| Pour cet exemple, on dit que la fonction inverse a pour limite
  :math:`0` quand :math:`x` tend vers :math:`+\infty`. On note :

  .. math:: \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1}{x}=0

   
| Nous pouvons également étudier le comportement de la fonction inverse
  pour des nombres de plus en plus petits ! Commençons avec des valeurs
  particulières pour :math:`x` qui sont de plus en plus petites :

  .. math:: f(-10)=\frac{1}{-10}= -0,1

  .. math:: f(-100)=\frac{1}{-100}= -0,01

  .. math:: f(-1000)=\frac{1}{-1000}= -0,001

  .. math:: f(-1000000)=\frac{1}{-1000000}= -0,000001

  .. math:: f(-1000000000000000)=\frac{1}{-1000000000000000}= -0,000000000000001

  Plus généralement, si nous divisons :math:`1` par des nombres négatifs
  arbitrairement petits, le résultat sera un nombre négatif
  arbitrairement proche de :math:`0`. Au fur à mesure que les abscisses
  :math:`x` des points du graphes diminuent, les ordonnées :math:`f(x)`
  associées se rapprochent uniformément et définitivement de :math:`0`.
  Nous retrouvons une fois de plus l’idée de limite : la nouveauté étant
  que nous observons le comportement de la fonction non pas à l’approche
  d’un point, mais son comportement pour des nombres de plus en plus
  petits.
| Pour cet exemple, on dit que la fonction inverse a pour limite
  :math:`0` quand :math:`x` tend vers :math:`-\infty`. On note :

  .. math:: \lim\limits_{x \to -\infty} \frac{1}{x}=0

|

**Remarque 3.6.2.** Il se trouve que la fonction inverse a la même limite pour :math:`x`
tendant vers :math:`+\infty` et pour :math:`x` tendant vers
:math:`-\infty`. Ce n’est bien évidemment pas toujours le cas. Par
exemple, la fonction dont le graphe est ci-dessous a comme limite
:math:`-1` pour :math:`x` tendant vers :math:`+\infty` et :math:`2` pour
:math:`x` tendant vers :math:`-\infty`.

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-7,-5) grid (7,5);

      \draw[very thick,->] (-7,0) -- (8,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[domain=-7:-1](\x,{1-1/(\x)});
    \draw[thick] plot[domain=-1:1](\x,{(5/2)-(\x)*(\x)/2});
    \draw[thick] plot[domain=1:2](\x,{4-2*\x});
    \draw[thick] plot[domain=2:7](\x,{-2+8/((\x)*(\x))});
			

.. math:: \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1}{x}=-2

.. math:: \lim\limits_{x \to -\infty} \frac{1}{x}=1

Donnons les définitions de limite d’une fonction pour :math:`x` qui tend
vers :math:`+\infty` ou vers :math:`-\infty`. Celle-ci est très
similaire à la définition de limite d’une fonction en un point et est
construite de la même manière.

|

**Définition 3.6.3.** Soit un intervalle :math:`I` non majoré. Soit :math:`f : I \to \mathbb{R}`.

  On dit que :math:`f` a *une limite* :math:`L \in \mathbb{R}` pour
  :math:`x` qui tend vers :math:`+\infty` si pour toute marge d’erreur
  :math:`\epsilon >0`, il existe :math:`N > 0` tel que pour tout
  :math:`x \in I` qui est plus grand ou égal à :math:`N`, c’est-à-dire
  tel que :math:`x \ge N`, on a nécessairement que :math:`f(x)` est à
  une distance plus petite ou égale de :math:`L` que :math:`\epsilon`,
  c’est-à-dire qu’on a :math:`|f(x)-L| \le \epsilon`.
  Dans ce cas, on note :

  .. math:: \lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=L

**Définition 3.6.4.** Soit un intervalle :math:`I` non minoré. Soit :math:`f : I \to \mathbb{R}`.
  
  On dit que :math:`f` a *une limite* :math:`L \in \mathbb{R}` pour
  :math:`x` qui tend vers :math:`-\infty` si pour toute marge d’erreur
  :math:`\epsilon >0`, il existe :math:`N < 0` tel que pour tout
  :math:`x \in I` qui est plus petit ou égal à :math:`N`, c’est-à-dire
  tel que :math:`x \le N`, on a nécessairement que :math:`f(x)` est à
  une distance plus petite ou égale de :math:`L` que :math:`\epsilon`,
  c’est-à-dire qu’on a :math:`|f(x)-L| \le \epsilon`.
  Dans ce cas, on note :

  .. math:: \lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=L

|

Donnons quelques exemples et contre-exemples.

**Exemple 3.6.5.** La fonction dont le graphe est donné ci-dessous a comme limite :math:`3`
pour :math:`x` qui tend vers :math:`+\infty`.

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
		\draw (-4,-2)node{$\bullet$};
    \draw[thick] plot[domain=-4:-2](\x,{(1/2)*\x});
        \draw (-2,-1)node{$\bullet$};
        \draw (2,2.5)node{$\bullet$};
    \draw[thick] plot[domain=2:5](\x,{3-1/(\x)});
			

.. math:: \lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=3

Pour cette fonction, il ne fait pas sens de parler d’une éventuelle
limite pour :math:`x` qui tend vers :math:`-\infty` puisque son domaine
de définition est :math:`[-4;-2] \cup [2;\rightarrow[`.

**Exemple 3.6.6.** La fonction dont le graphe est donné ci-dessous a comme limite
:math:`-1` pour :math:`x` qui tend vers :math:`+\infty` et pour
:math:`x` qui tend vers :math:`-\infty`.

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[samples=150,domain=-5:-0.01](\x,{-1+sin(3*180*\x)*(1/(3*\x))});
    \draw[thick] plot[samples=150,domain=0.01:5](\x,{-1+sin(3*180*\x)*(1/(3*\x))});
          

.. math:: \lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=-1

.. math:: \lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=-1

|

**Contre-exemple 3.6.7.** La fonction dont le graphe est donné ci-dessous n’a pas de limite pour
:math:`x` qui tend vers :math:`+\infty` et n’a pas de limite pour
:math:`x` qui tend vers :math:`-\infty`.

| Note : le graphe de cette fonction se répète : on dit qu’elle est
  périodique.

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[samples=300,domain=-5:5](\x,{sin(3*180*\x)});
			

En effet, peu importe si on considère des nombres :math:`x` de plus en
plus grands ou de plus en plus petits, les nombres :math:`f(x)`
associées ne finiront jamais par se rapprocher de manière uniforme et
définitive d’une valeur unique. Ils continueront d’osciller autour de
:math:`0` encore et encore.

**Contre-exemple 3.6.8.** La fonction dont le graphe est donné ci-dessous n’a pas de limite pour
:math:`x` qui tend vers :math:`+\infty` mais a comme limite :math:`1`
pour :math:`x` qui tend vers :math:`-\infty`.

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[domain=-5:4](\x,{1+(1/4)*2^\x});
			

.. math:: \lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=1


|

| De la même manière qu’on peut parler d’une limite d’une fonction pour
  :math:`x` qui tend vers :math:`+\infty` ou pour :math:`x` qui tend
  vers :math:`-\infty`, on peut parler de la divergence vers
  :math:`+\infty` ou vers :math:`-\infty` pour :math:`x` qui tend vers
  :math:`+\infty` ou pour :math:`x` qui tend vers :math:`-\infty`. Une
  fois de plus, introduisons cette nouvelle notion avec un exemple.

**Exemple 3.6.9.** Nous souhaiterions pouvoir parler du comportement asymptotique de la
fonction cubique, dont le graphe est pour rappel le suivant.

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[domain=-1.7099:1.7099](\x,{\x * \x * \x});
			

Nous aimerions savoir ce que deviennent les nombres :math:`f(x)` au fur
et à mesure que nous considérons des :math:`x` de plus en plus grands.
Voyons d’abord ce que vaut :math:`f(x)` pour certaines valeurs de
:math:`x` particulières qui sont de plus en plus grandes :

.. math:: f(10)=(10)^3= 1000

.. math:: f(100)=(100)^3= 1000000

.. math:: f(1000)=(1000)^3= 1000000000

.. math:: f(1000000)=(1000000)^3= 1000000000000000000

| Plus généralement, si nous prenons le cube de nombres positifs
  arbitrairement grands, le résultat sera un nombre positif
  arbitrairement grand. Au fur à mesure que les abscisses :math:`x` des
  points du graphes grandissent, les ordonnées :math:`f(x)` deviennent
  uniformément et définitivement aussi grandes que l’on veut. Nous
  retrouvons l’idée de divergence : la nouveauté étant que nous
  observons le comportement de la fonction non pas à l’approche d’un
  point, mais son comportement pour des nombres de plus en plus grands.
| Pour cet exemple, on dit que la fonction cubique diverge vers
  :math:`+\infty` quand :math:`x` tend vers :math:`+\infty`. On note :

  .. math:: \lim\limits_{x \to +\infty} x^3=+\infty

   
| Nous pouvons également étudier le comportement de la fonction cubique
  pour des nombres de plus en plus petits ! Commençons avec des valeurs
  particulières pour :math:`x` qui sont de plus en plus petites :

.. math:: f(-10)=(-10)^3= -1000

.. math:: f(-100)=(-100)^3= -1000000

.. math:: f(-1000)=(-1000)^3= -1000000000

.. math:: f(-1000000)=(-1000000)^3= -1000000000000000000

| Plus généralement, si nous prenons le cube de nombres négatifs
  arbitrairement petits, le résultat sera un nombre négatif
  arbitrairement petit. Au fur à mesure que les abscisses :math:`x` des
  points du graphes diminuent, les ordonnées :math:`f(x)` associées
  deviennent uniformément et définitivement aussi petites que l’on veut.
  Nous retrouvons une fois de plus l’idée de divergence : la nouveauté
  étant que nous observons le comportement de la fonction non pas à
  l’approche d’un point, mais son comportement pour des nombres de plus
  en plus petits.
| Pour cet exemple, on dit que la fonction cubique diverge vers
  :math:`-\infty` quand :math:`x` tend vers :math:`-\infty`. On note :

  .. math:: \lim\limits_{x \to -\infty} x^3=-\infty

|  
| Donnons les définitions de divergence vers :math:`+\infty` ou vers
  :math:`-\infty` d’une fonction pour :math:`x` qui tend vers
  :math:`+\infty` ou vers :math:`-\infty`. Celle-ci est très similaire à
  la définition de divergence d’une fonction en un point et est
  construite de la même manière.

|

**Définition 3.6.10.** Soit un intervalle :math:`I` non majoré. Soit :math:`f : I \to \mathbb{R}`.
  
  On dit que :math:`f` a diverge vers :math:`+\infty` pour :math:`x`
  qui tend vers :math:`+\infty` si pour toute borne supérieure
  :math:`M >0`, il existe :math:`N > 0` tel que pour tout
  :math:`x \in I` qui est plus grand ou égal à :math:`N`, c’est-à-dire
  tel que :math:`x \ge N`, on a nécessairement que :math:`f(x)` est plus
  grand ou égal à :math:`M`, c’est-à-dire qu’on a :math:`f(x) \ge M`.
  Dans ce cas, on note :

  .. math:: \lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty

**Définition 3.6.11.** Soit un intervalle :math:`I` non majoré. Soit :math:`f : I \to \mathbb{R}`.
  
  On dit que :math:`f` a diverge vers :math:`-\infty` pour :math:`x`
  qui tend vers :math:`+\infty` si pour toute borne inférieure
  :math:`M <0`, il existe :math:`N > 0` tel que pour tout
  :math:`x \in I` qui est plus grand ou égal à :math:`N`, c’est-à-dire
  tel que :math:`x \ge N`, on a nécessairement que :math:`f(x)` est plus
  petit ou égal à :math:`M`, c’est-à-dire qu’on a :math:`f(x) \le M`.
  Dans ce cas, on note :

  .. math:: \lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=-\infty

**Définition 3.6.12.** Soit un intervalle :math:`I` non minoré. Soit :math:`f : I \to \mathbb{R}`.
  
  On dit que :math:`f` a diverge vers :math:`+\infty` pour :math:`x`
  qui tend vers :math:`-\infty` si pour toute borne supérieure
  :math:`M >0`, il existe :math:`N < 0` tel que pour tout
  :math:`x \in I` qui est plus petit ou égal à :math:`N`, c’est-à-dire
  tel que :math:`x \le N`, on a nécessairement que :math:`f(x)` est plus
  grand ou égal à :math:`M`, c’est-à-dire qu’on a :math:`f(x) \ge M`.
  Dans ce cas, on note :

  .. math:: \lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=+\infty

**Définition 3.6.13.** Soit un intervalle :math:`I` non majoré. Soit :math:`f : I \to \mathbb{R}`.
  
  On dit que :math:`f` a diverge vers :math:`-\infty` pour :math:`x`
  qui tend vers :math:`-\infty` si pour toute borne inférieure
  :math:`M <0`, il existe :math:`N < 0` tel que pour tout
  :math:`x \in I` qui est plus grand ou égal à :math:`N`, c’est-à-dire
  tel que :math:`x \le N`, on a nécessairement que :math:`f(x)` est plus
  petit ou égal à :math:`M`, c’est-à-dire qu’on a :math:`f(x) \le M`.
  Dans ce cas, on note :

  .. math:: \lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=-\infty

|

Donnons quelques exemples et contre-exemples.

**Exemple 3.6.14.** La fonction valeur absolue diverge vers :math:`+\infty` pour :math:`x`
qui tend vers :math:`+\infty` et diverge ves :math:`+\infty` pour
:math:`x` qui tend vers :math:`-\infty`.

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[domain=-5:5](\x,{abs(\x)});
			

.. math:: \lim\limits_{x \to +\infty} |x|=+\infty

.. math:: \lim\limits_{x \to +\infty} |x|=+\infty

**Exemple 3.6.15.** La fonction racine carrée diverge vers :math:`+\infty` pour :math:`x`
qui tend vers :math:`+\infty`. Il ne fait pas sens de parler d’une
limite ou de divergence pour :math:`x` qui tend vers :math:`-\infty`
pour la racine carrée puisqu’elle n’est pas définie sur l’ensemble des
réels strictement négatifs.

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[domain=0:5](\x,{sqrt(\x)});
			

.. math:: \lim\limits_{x \to +\infty} x=+\infty

**Exemple 3.6.16.** La fonction dont le graphe est donné ci-dessous diverge vers
:math:`-\infty` pour :math:`x` qui tend vers :math:`+\infty` et diverge
vers :math:`+\infty` pour :math:`x` qui tend vers :math:`-\infty`.

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[domain=-3:0](\x,{-3+1/2^\x});
		\draw (0,-2)node{$\bullet$};
		\draw (1,2.5)node{$\bullet$};
    \draw[thick] plot[samples=150,domain=1:4](\x,{3-(1/2)*\x*\x});
			

.. math:: \lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=-\infty

.. math:: \lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=+\infty

|

**Contre-exemple 3.6.17.** La fonction dont le graphe est donné ci-dessous ne diverge pas pour
:math:`x` qui tend vers :math:`+\infty` et ne diverge pas pour :math:`x`
qui tend vers :math:`-\infty`.

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[samples=300,domain=-5:5](\x,{sin(3*180*\x)});
			

**Contre-exemple 3.6.18.** La fonction dont le graphe est donné ci-dessous diverge vers
:math:`-\infty` pour :math:`x` qui tend vers :math:`+\infty` mais ne
diverge pas pour :math:`x` qui tend vers :math:`-\infty`.

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[domain=-5:4](\x,{-1-(1/4)*2^\x});
			

.. math:: \lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=-\infty

**Remarque 3.6.19.** Il existe une quantité non négligeable de résultats intéressants portant
sur les limites et les divergences de fonctions pour :math:`x` qui tend
vers :math:`+\infty` ou vers :math:`-\infty`. Néanmoins, dans ce cours,
nous nous contenterons d’utiliser ces notions comme des outils qui
permettent de décrire le comportement asymptotique d’une fonction.  

|

Passons aux exercices.

**Exercice 3.6.20.** (Exercice théorique un peu difficile.)

Les définitions 3.6.3 et 3.6.4
sont très similaires. Identifier la seule petite différence et
expliquer celle-ci.

|

**Exercice 3.6.21.** Tracer le graphe d’une fonction :math:`f` ayant les propriétés suivantes
:

.. hlist::
   :columns: 2

   * dom :math:`f=\mathbb{R}`

   * :math:`f` est continue partout sauf en :math:`-3` et :math:`2`.

   * :math:`\lim\limits_{x \underset{<}{\to} -3} f(x)` existe et est égale à
   :math:`1`.

   * :math:`\lim\limits_{x \underset{>}{\to} -3} f(x)` existe et est égale à
   :math:`2`.

   * :math:`\lim\limits_{x \underset{>}{\to} 2} f(x)` existe et est égale à
   :math:`-2`.

   * :math:`f(2)=2`

   * :math:`\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=-\infty`

   * :math:`\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=-\infty`

**Solution.**

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[domain=-5:-3](\x,{\x+4});
    \draw (-3,1)node{$\bullet$};
    \draw[thick, fill=white](-3,2)circle(0.15);
    \draw[thick] plot[domain=-2.95:2](\x,{2});
    \draw (2,2)node{$\bullet$};
    \draw[thick, fill=white](2,-2)circle(0.15);
    \draw[thick] plot[domain=2.08:5](\x,{-1-(1/2)*\x});

|		

**Exercice 3.6.22.** Déterminer si les fonctions dont les graphes sont donnés ci-dessous
ont une limite ou divergent pour :math:`x` qui tend vers
:math:`+\infty` ou :math:`-\infty`.

.. inginious:: limite6_1
.. inginious:: limite6_2
.. inginious:: limite6_3
.. inginious:: limite6_4
.. inginious:: limite6_5
.. inginious:: limite6_6
.. inginious:: limite6_7
.. inginious:: limite6_8


|

**Exercice 3.6.23.** Déterminer si les fonctions convergent ou divergent pour :math:`x` qui
tend vers :math:`+\infty` ou pour :math:`x` qui tend vers
:math:`\infty`. Si elles convergent, donner la limite. Si elles
divergent, donner le type de divergence (vers :math:`+\infty` ou vers
:math:`-\infty`). N’hésitez pas à vous aider d’un graphe.

.. inginious:: limite7_1
.. inginious:: limite7_2
.. inginious:: limite7_3
.. inginious:: limite7_4
.. inginious:: limite7_5
.. inginious:: limite7_6

|

**Exercice 3.6.24.** Un homme souhaite changer la teneur en sel de son aquarium pour y
accueillir de nouveaux poissons. Alors que son aquarium contient
initialement 3 litres d’eau douce, il commence à remplir l’aquarium avec
à la fois de l’eau douce et de l’eau salée (avec deux pompes
différentes). La pompe d’eau douce a un débit d’un centilitre par
seconde, tandis que la pompe d’eau salée a un débit de deux centilitres
par seconde.

#. Quel est le rapport de la quantité d’eau douce et de la quantité
   d’eau salée après une minute de remplissage ?

#. Quel est le rapport de la quantité d’eau douce et de la quantité
   d’eau salée après :math:`r` secondes de remplissage ? (:math:`t`
   étant un nombre réel strictement positif quelconque.)

#. Au fur et à mesure que le temps passe, de quoi se rapproche le
   rapport de la quantité d’eau douce et de la quantité d’eau salée ?

.. inginious:: limite8_1

|

**Exercice 3.6.25.** Un avion a une panne de moteur en plein vol à une altitude de
:math:`10`\ km et menace de s’écraser. Le pilote va essayer de faire
planer l’avion jusqu’au prochain aréoport, mais il craint que l’avion
perde trop d’altitude en planant.

Il se souvient de ses cours d’aviation que dans ce genre de situation,
l’avion perd d’abord rapidement beaucoup d’altitude mais se stabilise
peu à peu. Il se souvient que dans ce genre de situation, l’altitude
de l’avion après :math:`t` heures est de :math:`A*\frac{t}{2(t+1)}` où
:math:`A` est l’altitude initiale de l’avion.

De quelle altitude se rapproche de l’avion au fur et à mesure que le
temps passe ? Risque-t-il de s’écraser ?

.. inginious:: limite8_2