3.7 Asymptotes
--------------

| Il existe une autre manière d’interpréter et de visualiser certaines
  limites. Ce point de vue plus géométrique des limites que sont les
  asymptotes plaît énormément à certains mais n’apporte rien de
  fondamental à l’idée de limite. Passons rapidement en revue les deux
  types les plus simples d’asymptotes : les asymptotes horizontales et
  les asymptotes verticales.
| Une fois de plus, commençons avec un exemple.

**Exemple 3.7.1.** Voici ci-dessous le graphe de la fonction :

.. math::

   \begin{aligned}
       f : \mathbb{R}\backslash\{1\} &\to \mathbb{R}\\
       x &\mapsto 2+\frac{1}{x-1}
       \end{aligned}

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[domain=-5:0.8571](\x,{2+1/(\x -1)});
    \draw[thick] plot[domain=1.3334:5](\x,{2+1/(\x -1)});
			

Les limites et les divergences intéressantes pour cette fonction sont :

.. math:: \lim\limits_{x \to +\infty} 2+\frac{1}{x-1}=2

.. math:: \lim\limits_{x \to -\infty} 2+\frac{1}{x-1}=2

.. math:: \lim\limits_{x \underset{>}{\to} 1} 2+\frac{1}{x-1}=+\infty

.. math:: \lim\limits_{x \underset{<}{\to} 1} 2+\frac{1}{x-1}=-\infty

Rappelons-nous ce que signifie en français la première de ces quatre
affirmations : au fur et à mesure que :math:`x` devient grand, les
nombres :math:`2+\frac{1}{x-1}` associées se rapprochent uniformément et
définitivement de :math:`2`. Une autre façon d’exprimer cela, plus
géométrique, est de dire que plus on considère des points du graphe de
la fonction :math:`f` dont les abscisses sont grandes, plus le graphe de
:math:`f` se rapproche uniformément et définitivement de la droite
d’équation :math:`y=2` :

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[domain=-5:0.8571](\x,{2+1/(\x -1)});
    \draw[thick] plot[domain=1.3334:5](\x,{2+1/(\x -1)});
    \draw[blue,thick,dotted] plot[domain=-5:5](\x,{2)});
			

| Cette droite est ce qu’on appelle une asymptote (horizontale) de la
  fonction :math:`f`. Son sens est exactement celui encodé par la limite
  :math:`\lim\limits_{x \to +\infty} 2+\frac{1}{x-1}=2`.
| Remarquons que la limite
  :math:`\lim\limits_{x \to -\infty} 2+\frac{1}{x-1}=2` peut également
  être interprétée géométriquement avec une asymptote horizontale : plus
  on considère des points du graphe de la fonction :math:`f` dont les
  abscisses sont petites, plus le graphe de :math:`f` se rapproche
  uniformément et définitivement de la droite d’équation :math:`y=2`
  également.
|  
| Par contre, si on souhaite interpréter les deux affirmations
  :math:`\lim\limits_{x \underset{>}{\to} 1} 2+\frac{1}{x-1}=+\infty` et
  :math:`\lim\limits_{x \underset{<}{\to} 1} 2+\frac{1}{x-1}=-\infty` de
  façon plus géométrique, il faut recourir à la notion d’asymptote
  verticale. Pour cet exemple, on dira que la focntion a une asymptote
  verticale d’équation cartésienne :math:`x=1` :

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[domain=-5:0.8571](\x,{2+1/(\x -1)});
    \draw[thick] plot[domain=1.3334:5](\x,{2+1/(\x -1)});
    \draw[blue,thick,dotted](1,-5)--(1,5);
			

Plus on on considère des points du graphe de :math:`f` dont les
abscisses sont proches de :math:`1`, plus le graphe de :math:`f` se
rapproche uniformément et définitivement de cette droite. Le sens de
cette asymptote verticale est exactement celui des deux divergences
:math:`\lim\limits_{x \underset{>}{\to} 1} 2+\frac{1}{x-1}=+\infty` et
:math:`\lim\limits_{x \underset{<}{\to} 1} 2+\frac{1}{x-1}=-\infty`.

Les asymptotes horizontales sont donc juste une manière plus géométrique
d’exprimer des limites pour :math:`x` qui tend vers :math:`+\infty` ou
:math:`-\infty` de fonctions et les asymptotes verticales sont juste une
manière plus géométrique d’exprimer des divergences en un point de
fonctions. Donnons les définitions précises de ces deux nouvelles
notions.

|

**Définition 3.7.2.** Soit un intervalle :math:`I` non majoré. Soit :math:`f : I \to \mathbb{R}`.
  
  Si :math:`\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=L`, on dit que :math:`f` a
  une *asymptote horizontale (à droite)* d’équation cartésienne
  :math:`y=L` et on note :

  .. math:: {\mbox{AH}}_{d} \equiv y=L

**Définition 3.7.3.** Soit un intervalle :math:`I` non minoré. Soit :math:`f : I \to \mathbb{R}`.
 
  Si :math:`\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=L`, on dit que :math:`f` a
  une *asymptote horizontale (à gauche)* d’équation cartésienne
  :math:`y=L` et on note :

  .. math:: {\mbox{AH}}_{g} \equiv y=L

**Définition 3.7.4.** Soit un intervalle :math:`I` éventuellement privé d’un point :math:`c`. Soit :math:`f : I \to \mathbb{R}`.
 
  Si :math:`\lim\limits_{x \underset{>}{\to} c} f(x)=+\infty` ou
  :math:`\lim\limits_{x \underset{>}{\to} c} f(x)=-\infty`, on dit que
  :math:`f` a une *asymptote verticale (à droite)* d’équation
  cartésienne :math:`x=c` et on note :

  .. math:: {\mbox{AV}}_{d} \equiv x=c

**Définition 3.7.5.** Soit un intervalle :math:`I` éventuellement privé d’un point :math:`c`. Soit :math:`f : I \to \mathbb{R}`.
 
  Si :math:`\lim\limits_{x \underset{<}{\to} c} f(x)=+\infty` ou
  :math:`\lim\limits_{x \underset{<}{\to} c} f(x)=-\infty`, on dit que
  :math:`f` a une *asymptote verticale (à gauche)* d’équation
  cartésienne :math:`x=c` et on note :

  .. math:: {\mbox{AV}}_{g} \equiv x=c

|

**Remarque 3.7.6.** Il existe encore au moins un autre type d’asymptote : les asymptotes
obliques. Nous n’en parlerons pas dans ce cours.

Puisque les asymptotes ne sont qu’une réinterprétation géométrique de
certaines limites, il n’y a pas grand chose d’autre à dire à leur sujet.
Passons donc immédiatement aux exercices.

|

**Exercice 3.7.7.** Pour les fonctions dont les graphes sont donnés ci-dessous, lister
toutes les asymptotes horizontales et verticales et donner leurs
équations cartésiennes.

.. inginious:: asymp1_1
.. inginious:: asymp1_2
.. inginious:: asymp1_3
.. inginious:: asymp1_4


|

**Exercice 3.7.8.** Donner le graphe d’une fonction qui possède deux asymptotes horizontales
(différentes), deux asymptotes verticales dont une des deux a pour
équation cartésienne :math:`x=-2`. Donner les équations cartésiennes de
toutes les asympotes horizontales et verticales de la fonction choisie.

**Solution.**

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
    \draw[thick] plot[domain=-5:-2.4472](\x,{1/((\x+2)*(\x+2))});
    \draw[thick] plot[domain=-1.5528:-1](\x,{1/((\x+2)*(\x+2))});
    \draw[thick] plot[domain=-1:2](\x,{1});
    \draw[thick] plot[domain=2:2.8571](\x,{2+1/(\x -3)});
    \draw[thick] plot[domain=3.3334:5](\x,{2+1/(\x -3)});
			

.. math:: {\mbox{AH}}_{d} \equiv y=2

.. math:: {\mbox{AH}}_{h} \equiv y=0

.. math:: \mbox{AV} \equiv x=-2

.. math:: \mbox{AV} \equiv x=3

|

**Exercice 3.7.9.** Pour les fonctions suivantes, déterminer les équations cartésiennes de
toutes les asymptotes horizontales et verticales.

.. inginious:: asymp2_1
.. inginious:: asymp2_2
.. inginious:: asymp2_3
.. inginious:: asymp2_4
.. inginious:: asymp2_5
.. inginious:: asymp2_6