2.2 Suites arithmétiques
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| Considérons les trois suites dont les premiers termes sont :

| :math:`0,1,2,3,4,5,...`
| :math:`-5,-5+\frac{1}{3},-5+\frac{2}{3},-4,-4+\frac{1}{3},-4+\frac{1}{3},...`
| :math:`11,9,7,5,3,1,-1,-3,...`

| Elles ont un point commun : pour passer d’un terme au suivant, on
  ajoute toujours un même nombre. Pour la première suite, ce nombre est
  :math:`1`, pour la deuxième, ce nombre est :math:`\frac{1}{3}`, pour
  la troisième, ce nombre est :math:`-2`. C’est le principe qui définit
  les suites arithmétiques.

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**Définition 2.2.1.** 

  Une *suite arithmétique* est une suite :math:`{(s_n)}_{n \in \mathbb{N}}` telle que :
  
  .. math::

     \left\{
         \begin{array}{l}
         s_0 = a \\
         s_{n+1} = s_{n} + r ~~~~~~ n \in \mathbb{N}
         \end{array}
         \right.

  où :math:`a \in \mathbb{R}` est le *terme initial* et
  :math:`r \in \mathbb{R}` est la *raison* (ce qu’on ajoute pour passer
  d’un terme au suivant).

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**Exemple 2.2.2.** La suite dont les premiers termes sont :math:`11,9,7,5,3,1,-1,-3,...`
est une suite arithmétique de terme initial :math:`a=11` et de raison
:math:`r=-2`.

**Remarque 2.2.3.** Puisque pour passer d’un terme au suivant dans une suite arithmétique,
il suffit d’ajouter la raison, les termes successifs d’une suite
arithmétique de terme initial :math:`a \in \mathbb{R}` et de raison
:math:`r \in \mathbb{R}` peuvent être notés :

.. math:: a,a+1.r,a+2.r,a+3.r,a+4.r,a+5.r,...

Il n’est dès lors pas surprenant qu’on puisse démontrer qu’une suite
arithmétique de terme initial :math:`a \in \mathbb{R}` et de raison
:math:`r \in \mathbb{R}` est égale à la suite :

.. math::

   \begin{aligned}
       f : \mathbb{N}&\to \mathbb{R}\\
       n &\mapsto a + r.n
       \end{aligned}

Ce qui correspond à la définition de cette suite en fonction du rang.

**Exemple 2.2.4.** La suite dont les premiers termes sont :math:`11,9,7,5,3,1,-1,-3,...`
est une suite arithmétique de terme initial :math:`a=11` et de raison
:math:`r=-2`. Elle est égale à la suite :

.. math::

   \begin{aligned}
       f : \mathbb{N}&\to \mathbb{R}\\
       n &\mapsto 11 + (-2).n
       \end{aligned}

Et en effet, on calcule : :math:`f(0)=11+(-2).0 = 11`,
:math:`f(1)=11+(-2).1 = 9`, :math:`f(2)=11+(-2).2 = 7`,
:math:`f(3)=11+(-2).3 = 5`, ...

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**Exercice 2.2.5.** Soit :math:`{(s_n)}_{n \in \mathbb{N}}` une suite arithmétique telle que
:

#. :math:`a=-1` et :math:`r=-7`

#. :math:`s_0 = 2` et :math:`s_1 = 5`

#. :math:`\left\{\begin{array}{l}s_0 = -\frac{1}{2} \\s_{n+1} = s_{n} + \frac{3}{2} ~~~~~~ n \in \mathbb{N}\end{array}\right.`

#. :math:`s_n = 3n`        :math:`(n \in \mathbb{N})`

#. :math:`s_4 = 15` et :math:`s_{31} = 20 + \frac{2}{5}`

Pour chacune de ces possibilités, calculer :math:`a`, :math:`r` et le
terme de rang :math:`20`.

.. inginious:: suite2_1
.. inginious:: suite2_2
.. inginious:: suite2_3
.. inginious:: suite2_4
.. inginious:: suite2_5

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**Exercice 2.2.6.** Soit :math:`{(s_n)}_{n \in \mathbb{N}}` une suite telle que :

#. :math:`s_n = 3^0`        :math:`(n \in \mathbb{N})`

#. :math:`\left\{\begin{array}{l}s_0 = 1 \\s_{n+1} = 2s_{n} + \frac{3}{2} ~~~~~~ n \in \mathbb{N}\end{array}\right.`

#. :math:`\left\{\begin{array}{l}s_0 = 1 \\s_1 = 2 \\s_{n+2} = s_{n+1} + s_{n} - 6 ~~~~~~ n \in \mathbb{N}\end{array}\right.`

#. :math:`\left\{\begin{array}{l}s_0 = 0 \\s_{n+1} = s_{n} . 3 ~~~~~~ n \in \mathbb{N}\end{array}\right.`

Pour chacune de ces possibilités, déterminer s’il s’agit d’une suite
arithmétique.

.. inginious:: suite3_1
.. inginious:: suite3_2
.. inginious:: suite3_3
.. inginious:: suite3_4

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**Exercice 2.2.7.** 

.. inginious:: suite4