2.3 Suites géométriques
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| Considérons les trois suites dont les premiers termes sont :

| :math:`1,2,4,8,16,32,...`
| :math:`10,-10,10,-10,10,...`
| :math:`81,27,9,3,1,\frac{1}{3},\frac{1}{9},...`

| Elles ont un point commun : pour passer d’un terme au suivant, on
  multiplie toujours par un même nombre. Pour la première suite, ce
  nombre est :math:`2`, pour la deuxième, ce nombre est :math:`-1`, pour
  la troisième, ce nombre est :math:`\frac{1}{3}`. C’est le principe qui
  définit les suites géométriques.

**Définition 2.3.1.**  

  Une *suite géométrique* est une suite :math:`{(s_n)}_{n \in \mathbb{N}}` telle que :

  .. math::

     \left\{
         \begin{array}{l}
         s_0 = b \\
         s_{n+1} = s_{n} . q ~~~~~~ n \in \mathbb{N}
         \end{array}
         \right.

  où :math:`b \in \mathbb{R}` est le *terme initial* et
  :math:`q \in \mathbb{R}` est la *raison* (ce par quoi on multiplie
  pour passer d’un terme au suivant).

| 

**Exemple 2.3.2.** La suite dont les premiers termes sont
:math:`81,27,9,3,1,\frac{1}{3},\frac{1}{9},...` est une suite
géométrique de terme initial :math:`b=81` et de raison
:math:`q=\frac{1}{3}`.

**Remarque 2.3.3.** Puisque pour passer d’un terme au suivant dans une suite géométrique, il
suffit de multiplier par la raison, les termes successifs d’une suite
géométrique de terme initial :math:`b \in \mathbb{R}` et de raison
:math:`q \in \mathbb{R}` peuvent être notés :

.. math:: b,b.q,b.q^2,b.q^3,,b.q^4,b.q^5,...

Il n’est dès lors pas surprenant qu’on puisse démontrer qu’une suite
géométrique de terme initial :math:`b \in \mathbb{R}` et de raison
:math:`q \in \mathbb{R}` est égale à la suite :

.. math::

   \begin{aligned}
       f : \mathbb{N}&\to \mathbb{R}\\
       n &\mapsto b.q^n
       \end{aligned}

Ce qui correspond à la définition de cette suite en fonction du rang.

**Exemple 2.3.4.** La suite dont les premiers termes sont
:math:`81,27,9,3,1,\frac{1}{3},\frac{1}{9},...` est une suite
arithmétique de terme initial :math:`b=81` et de raison
:math:`q=\frac{1}{3}`. Elle est égale à la suite :

.. math::

   \begin{aligned}
       f : \mathbb{N}&\to \mathbb{R}\\
       n &\mapsto 81 . (\frac{1}{3})^n
       \end{aligned}

Et en effet, on calcule : :math:`f(0)=81 . (\frac{1}{3})^0 = 81`,
:math:`81 . (\frac{1}{3})^1 = 27`, :math:`81 . (\frac{1}{3})^2 = 9`,
:math:`81 . (\frac{1}{3})^3 = 3`, ...

| 

**Exercice 2.3.5.** Soit :math:`{(s_n)}_{n \in \mathbb{N}}` une suite géométrique telle que
:

#. :math:`b=1` et :math:`q=-2`

#. :math:`s_0 = 2` et :math:`s_1 = 6`

#. :math:`\left\{\begin{array}{l}s_0 = -27 \\s_{n+1} = s_{n} . \frac{1}{3} ~~~~~~ n \in \mathbb{N}\end{array}\right.`

#. :math:`s_n = (\frac{1}{5})^n`        :math:`(n \in \mathbb{N})`

#. :math:`s_4 = \frac{7}{16}` et :math:`s_{10} = 28`

Pour chacune de ces possibilités, calculer :math:`b`, :math:`q` et le
terme de rang :math:`6`.

.. inginious:: suite5_1
.. inginious:: suite5_2
.. inginious:: suite5_3
.. inginious:: suite5_4
.. inginious:: suite5_5

| 

**Exercice 2.3.6.** Soit :math:`{(s_n)}_{n \in \mathbb{N}}` une suite telle que :

#. :math:`s_n = 4^0`        :math:`(n \in \mathbb{N})`

#. :math:`\left\{\begin{array}{l}s_0 = 1 \\s_{n+1} = 2s_{n} + \frac{3}{2} ~~~~~~ n \in \mathbb{N}\end{array}\right.`

#. :math:`\left\{\begin{array}{l}s_0 = -1 \\s_1 = 1 \\s_{n+2} = s_{n+1} + 2s_{n} ~~~~~~ n \in \mathbb{N}\end{array}\right.`

#. :math:`\left\{\begin{array}{l}s_0 = 0 \\s_{n+1} = s_{n} + s_0 ~~~~~~ n \in \mathbb{N}\end{array}\right.`

Pour chacune de ces possibilités, déterminer s’il s’agit d’une suite
géométrique.

.. inginious:: suite6_1
.. inginious:: suite6_2
.. inginious:: suite6_3
.. inginious:: suite6_4

| 

**Exercice 2.3.7.** 

.. inginious:: suite7