2.4 Intérêts simples et intérêts composés
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**Problème** Considérons le problème suivant : nous disposons de :math:`100`\ € et
nous avons la possibilité de déposer ces :math:`100`\ € sur un compte
d’une première banque qui nous propose des intérêts mensuels de
:math:`1` % de la somme initiale déposée sur le compte (c’est-à-dire,
dans notre cas, :math:`100`\ €) ou sur un compte d’une seconde banque
qui elle nous propose des intérêts mensuels de :math:`0,5` % de la
somme présente sur le compte ce mois-là, somme qui évolue donc chaque
mois. En supposant que nous allons laisser l’argent sur le compte
pendant :math:`12` mois, sans y toucher ni y ajouter quelque chose,
quelle est la banque la plus avantageuse (pour nous) ?


Commençons par donner la suite des sommes d’argent dont nous
disposerons après les premiers mois si nous choisissons la première
banque : après :math:`1` mois, nous disposerons de
:math:`100 + 0,01 . 100 = 101`\ €. Après :math:`2` mois, nous
disposerons de :math:`101 + 0,01 . 100 = 102`\ €. Et ainsi de suite :
on remarque qu’on a affaire à une suite arithmétique de terme initial
:math:`a=100` et de raison :math:`1`. Après :math:`12` mois, nous
disposerons donc de :math:`100 + 12 . 1 = 112`\ €.


Passons au cas de la deuxième banque. Après le premier mois, nous
disposerons de
:math:`100 + 0,005 . 100 = 100 . (1 + 0,005) = 100 . 1,005 = 100,5`\ €.
Après le deuxième mois, nous disposerons de
:math:`100,5 + 0.005 . 100,5 = 100,5 . (1 + 0,005) = 100,5 . 1,005 = 101,0025`\ €.
Et ainsi de suite : on remarque qu’on a affaire à une suite
géométrique de terme initial :math:`b=100` et de raison :math:`1,005`.
Après :math:`12` mois, nous disposerons donc de
:math:`100 . (1,005)^{12} \simeq 106,17`\ €.


Conclusion : la première banque est la plus intéressante. Néanmoins,
ce ne sera pas éternellement le cas : puisque les intérêts de la
seconde banque grandissent sans cesse et de plus en plus vite, il est
clair que sur le plus long terme (pouvez-vous déterminer à partir de
combien de mois ?), la seconde banque est plus intéressante.

Les intérêts que propose la première banque sont ce qu’on appelle des
*intérêts simples*, tandis que ceux que propose la seconde banque sont
ce qu’on appelle des *intérêts composés*. Il est important de se
souvenir que les intérêts simples correspondent à une suite
arithmétique, tandis que les intérêts composés correspondent à une suite
géométrique.

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**Exercice 2.4.1.** 

.. inginious:: suite8