2.5 Sommes de suites
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Dans cette section, nous allons découvrir les méthodes et formules pour
la somme des :math:`k` premiers termes d’une suite arithmétique ou
géométrique donnée, où :math:`k` est un nombre naturel choisi. Mais
commençons par l’exemple de l’introduction :

| **Exemple 2.5.1.** Que vaut :math:`1+2+3+...+49+50+51+...+98+99+100` ?
| Bien entendu, nous pourrions commencer à calculer cette somme en
  additionnant successivement tous les termes. Néanmoins, cette méthode
  serait quelque peu longue et pénible. Voici une autre méthode : on
  peut grouper les termes de la sommes deux-à-deux, :math:`1` avec
  :math:`100`, :math:`2` avec :math:`99`, :math:`3` avec :math:`98`, ...
  , :math:`50` avec :math:`51`. Toutes ces paires donnent :math:`101` et
  il y a :math:`50` paires. On en déduit que :

  .. math:: 1+2+3+...+49+50+51+...+98+99+100  = 101 . 50 = 5050

  Cette simple idée va nous permettre de démontrer la formule pour la
  somme des :math:`k` (:math:`k\in \mathbb{N}`) premiers termes d’une
  suite arithmétique.

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**Proposition 2.5.2.** Soit :math:`{(s_n)}_{n \in \mathbb{N}}` une suite
arithmétique de terme initial :math:`a \in \mathbb{R}` et de raison
:math:`r \in \mathbb{R}`. Choisissons un nombre
:math:`k \in \mathbb{N}`. Notons la somme des termes de la suite
:math:`{(s_n)}_{n \in \mathbb{N}}` pour les rangs de :math:`0` à
:math:`k` de la façon suivante :

.. math:: \sum\limits_{i=0}^{k} s_i = s_0 + s_1 + s_2 + ... + s_{k-2} + s_{k-1} + s_k

Alors on a :

.. math:: \sum\limits_{i=0}^{k} s_i = \frac{(2a + k r)(k+1)}{2}

*Démonstration* Puisque :math:`{(s_n)}_{n \in \mathbb{N}}` une suite arithmétique de
terme initial :math:`a \in \mathbb{R}` et de raison
:math:`r \in \mathbb{R}`, on a pour :math:`i \in \mathbb{N}` :
:math:`s_i = a + i  r`. Dès lors :

.. math:: \sum\limits_{i=0}^{k} s_i = a + (a+r)  + (a+2r) + ... + (a+(k-2)r) + (a+(k-1)r) + (a+kr)

On peut écrire cette somme dans l’autre sens :

.. math:: \sum\limits_{i=0}^{k} s_i = (a+kr) + (a+(k-1))r  + (a+(k-2)r) ... + (a+2r) + (a+r) + a

Additionnons les deux égalités précédentes et groupons ensemble le
premier terme de la somme du membre de droite de la première égalité
avec le premier terme de la somme du membre de droite de la deuxième
égalité, le deuxième terme de la somme du membre de droite de la
première égalité avec le deuxième terme de la somme du membre de droite
de la deuxième égalité, le troisième terme de la somme du membre de
droite de la première égalité avec le troisième terme de la somme du
membre de droite de la deuxième égalité et ainsi de suite :

.. math::

   \begin{aligned}
           2 \sum\limits_{i=0}^{k} s_i =& [a+(a+kr)] + [(a+r)+(a+(k-1))r]  + [(a+2r)+(a+(k-2)r)] + {}... \\
           &{}+ [(a+(k-2)r)+(a+2r)] + [(a+(k-1))r+(a+r)] + [(a+kr)+a]
       \end{aligned}

On observe que tous ces rassemblements donnent le même résultat :
:math:`2a+kr`. Ces rassemblements sont au nombre de :math:`k+1`, on a
donc :

.. math:: 2 \sum\limits_{i=0}^{k} s_i =(2a + k  r)(k+1)

Conclusion :

.. math:: \sum\limits_{i=0}^{k} s_i = \frac{(2a + k  r)(k+1)}{2}

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Nous avons une proposition similaire pour les suites géométriques :

**Proposition 2.5.3.** Soit :math:`{(s_n)}_{n \in \mathbb{N}}` une suite géométrique
de terme initial :math:`b \in \mathbb{R}` et de raison
:math:`q \in {\mathbb{R}} \backslash \{1\}`. Choisissons un nombre
:math:`k \in \mathbb{N}`. On a :

.. math:: \sum\limits_{i=0}^{k} s_i = b. \frac{1-q^{k+1}}{1-q}

*Démonstration* Puisque :math:`{(s_n)}_{n \in \mathbb{N}}` une suite géométrique de
terme initial :math:`b \in \mathbb{R}` et de raison
:math:`q \in \mathbb{R}`, on a pour :math:`i \in \mathbb{N}` :
:math:`s_i = bq^i`. Dès lors :

.. math:: \sum\limits_{i=0}^{k} s_i = b + (bi)  + (bi^2) + ... + (bq^{k-2}) + (bq^{k-1}) + (bq^{k})

On peut multiplier cette égalité par :math:`q` :

.. math:: q \sum\limits_{i=0}^{k} s_i = (bi)  + (bi^2) + (bi^3) ... + (bq^{k-1}) + (bq^{k}) + (bq^{k+1})

Soustrayons la deuxième égalité à la première en groupant ensemble le
deuxième terme de la somme du membre de droite de la première égalité
avec le premier terme de la somme du membre de droite de la deuxième
égalité, le troisième terme de la somme du membre de droite de la
première égalité avec le deuxième terme de la somme du membre de droite
de la deuxième égalité, le quatrième terme de la somme du membre de
droite de la première égalité avec le troisième terme de la somme du
membre de droite de la deuxième égalité et ainsi de suite :

.. math:: \sum\limits_{i=0}^{k} s_i - q \sum\limits_{i=0}^{k} s_i = b + [bi - bi] + [bi^2 - bi^2]   + ... + [bq^{k-1} - bq^{k-1}] + [bq^{k}-bq^{k}] - bq^{k+1}

On observe que tous ces rassemblements donnent le même résultat :
:math:`0`. On a donc :

.. math:: (1-q) \sum\limits_{i=0}^{k} s_i=b- bq^{k+1}

Puisque :math:`q \neq 1`, on conclut :

.. math:: \sum\limits_{i=0}^{k} s_i= \frac{b-bq^{k+1}}{1-q} = b. \frac{1-q^{k+1}}{1-q}

**Remarque 2.5.4.** Si on souhaite calculer la somme des termes d’une suite arithmétique ou
géométrique non pas à partir de :math:`0` mais à partir d’un autre
nombre naturel choisi, disons :math:`l`, il est possible de s’en sortir
facilement grâce aux formules des propositions
`[sommeari] <#sommeari>`__ et `[sommegéo] <#sommegéo>`__ puisque pour
une suite :math:`{(s_n)}_{n \in \mathbb{N}}`, on a :

.. math:: \sum\limits_{i=l}^{k} s_i = \sum\limits_{i=0}^{k}s_i - \sum\limits_{i=0}^{l-1}s_i

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**Exercice 2.5.5.**

.. inginious:: suite9_1
.. inginious:: suite9_2

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**Exercice 2.5.6.** 

.. inginious:: suite10_1
.. inginious:: suite10_2
.. inginious:: suite10_3
.. inginious:: suite10_4

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**Exercice 2.5.7.** 

.. inginious:: suite10_5
.. inginious:: suite10_6

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**Exercice 2.5.8.** 

.. inginious:: suite11

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