4 Limites de suites (optionnel)
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| Dans cette section, nous allons présenter une notion qui nous
  accompagnera tout au long des deux prochains chapitres : la notion de
  limite. Dans un premier temps, nous allons nous intéresser à cette
  notion dans un cadre simple, celui des limites de suites.
| Malheureusement, les démonstrations des résultats présentés dans cette
  section ne pourront être données dans le cadre de ce cours.

4.1 Définition
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Dans l’introduction, nous avons discuté des problèmes qui surgissent
rapidement si l’on considère l’infini comme un nombre réel tel que
:math:`\frac{1}{0}=\infty` ou encore :math:`\frac{1}{\infty}=0`.
 
  Néanmoins, si l’on considère par exemple la suite

  .. math::

     \begin{aligned}
     s : \mathbb{N}&\to \mathbb{R}\\
     n &\mapsto \frac{1}{n+1}\end{aligned}

  on aimerait malgré tout pouvoir exprimer clairement l’idée que les
  termes de cette suite se rapprochent de :math:`0`, de façon
  définitive, au fur et à mesure que le rang grandit :

  .. math:: \frac{1}{10}=0,1

  .. math:: \frac{1}{100}=0,01

  .. math:: \vdots

  .. math:: \frac{1}{10000}=0,0001

  .. math:: \vdots

  .. math:: \frac{1}{1000000}=0,000001

  .. math:: \vdots

| Une définition rigoureuse de ce phénomène peut être obtenue en prenant
  le point de vue suivant : si on affirme que la suite
  :math:`(s_n)_{n \in \mathbb{N}}` définie ci-dessus se rapproche de
  :math:`0`, de façon définitive, au fur et à mesure que le rang
  grandit, il est nécessaire que que pour toute borne réelle strcitement
  positive :math:`\epsilon` que l’on se fixe, il doit avoir un certain
  :math:`N \in \mathbb{N}` tel qu’à partir de ce moment :math:`N`, tous
  les termes de la suite sont à une distance au plus :math:`\epsilon` de
  :math:`0` (sinon, il existera toujours des termes de la suite qui
  s’éloigneront de :math:`0` plutôt que de s’en rapprocher, quel que
  soit l’endroit où on est arrivé dans la suite).
| De cet exemple, on tire la définition suivante :

| 

**Définition 4.1.1.** Soit une suite :math:`(s_n)_{n \in \mathbb{N}}`. La suite
:math:`(s_n)_{n \in \mathbb{N}}` a une limite :math:`S \in \mathbb{R}`
si pour tout nombre réel strictement positif :math:`\epsilon`, il existe
:math:`N \in \mathbb{N}` tel que pour tout :math:`n \in \mathbb{N}` avec
:math:`n \ge N`, on a

.. math:: |s_n - S | < \epsilon

Dans ce cas, on note :math:`\lim\limits_{n \to \infty} s_n = S` et on
dit que la suite converge vers :math:`S`.

| 

Passons en revue les suites issues des fonctions de référence et
déterminons si elles ont une limite.

#. Suite obtenue à partir de la fonction constante de constante
   :math:`c` (:math:`c` est un nombre réel quelconque) :

   .. math::

      \begin{aligned}
              s : \mathbb{N}&\to \mathbb{R}\\
              n &\mapsto c
              \end{aligned}

   Cette suite a trivialement pour limite :math:`c` :
   :math:`\lim\limits_{n \to \infty} c = c`.

#. Suite obtenue à partir de la fonction identité :

   .. math::

      \begin{aligned}
              f : \mathbb{N}&\to \mathbb{R}\\
              n &\mapsto n
              \end{aligned}

   Cette suite n’a pas de limite.

#. Suite obtenue à partir de la fonction carrée :

   .. math::

      \begin{aligned}
              f : \mathbb{N}&\to \mathbb{R}\\
              n &\mapsto n^2
              \end{aligned}

   Cette suite n’a pas de limite.

#. Suite obtenue à partir de la fonction cubique :

   .. math::

      \begin{aligned}
              f : \mathbb{N}&\to \mathbb{R}\\
              n &\mapsto n^3
              \end{aligned}

   Cette suite n’a pas de limite.

#. Suite obtenue à partir de la fonction racine carrée :

   .. math::

      \begin{aligned}
              f : \mathbb{N}&\to \mathbb{R}\\
              n &\mapsto \sqrt{n}
              \end{aligned}

   Cette suite n’a pas de limite.

#. Suite obtenue à partir de la fonction racine cubique :

   .. math::

      \begin{aligned}
              f : \mathbb{N}&\to \mathbb{R}\\
              n &\mapsto \sqrt[3]{n}
              \end{aligned}

   Cette suite n’a pas de limite.

#. Suite obtenue à partir de la fonction inverse :

   .. math::

      \begin{aligned}
              f : \mathbb{N}&\to \mathbb{R}\\
              n &\mapsto \frac{1}{n+1}
              \end{aligned}

   Cette suite a comme limite :math:`0` :
   :math:`\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0`.

#. Suite obtenue à partir de la fonction valeur absolue :

   .. math::

      \begin{aligned}
              f : \mathbb{N}&\to \mathbb{R}\\
              n &\mapsto |n|
              \end{aligned}

   Cette suite n’a pas de limite.

Ces limites de base vont nous permettre de calculer des limites plus
complexes grâce aux résultats de la prochaine section.

| 

**Exercice 4.1.2** (Difficile). À partir de la définition de limite, démontrer que si
:math:`c \in \mathbb{R}`, la suite

.. math::

   \begin{aligned}
       s : \mathbb{N}&\to \mathbb{R}\\
       n &\mapsto c
       \end{aligned}

a pour limite :math:`c`.

**Solution** Soit un nombre réel strictement positif :math:`\epsilon` fixé. Prenons
:math:`N =0`. Alors, pour tout :math:`n \in \mathbb{N}` avec
:math:`n \ge N`, on a :math:`| s_n - c | = | c - c | = |0| = 0`, donc
:math:`| s_n - c | < \epsilon`.

| 

**Exercice 4.1.3** (Très difficile). À partir de la définition démontrer que la suite

.. math::

   \begin{aligned}
       s : \mathbb{N}&\to \mathbb{R}\\
       n &\mapsto \frac{1}{n+1}
       \end{aligned}

a pour limite :math:`0`.

**Solution** Soit un nombre réel strictement positif :math:`\epsilon` fixé. Prenons
:math:`N \in \mathbb{N}` tel que :math:`N` soit strictement plus grand
que :math:`\frac{1}{\epsilon}` (ce qui implique que
:math:`\epsilon > \frac{1}{N}`). Alors, pour tout
:math:`n \in \mathbb{N}` avec :math:`n \ge N`, on a
:math:`| s_n - 0 | = | \frac{1}{n+1} - 0 | = |\frac{1}{n+1}| = \frac{1}{n+1}`,
donc :math:`| s_n - 0 | < \frac{1}{N+1} < \frac{1}{N} < \epsilon`.

| 

4.2 Propriétés des limites
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Donnons à présent plusieurs résultats importants concernant les limites.
Commençons par une proposition qui décrit comment se combinent les
limites de deux suites convergentes lorsqu’on les combinent entre elles.

**Proposition 4.2.1.** Soient deux suites :math:`(s_n)_{n \in \mathbb{N}}` et
:math:`(u_n)_{n \in \mathbb{N}}` qui convergent respectivement vers
:math:`S \in \mathbb{R}` et :math:`U \in \mathbb{R}`. Alors :

-  La suite :math:`(s_n + u_n)_{n \in \mathbb{N}}` converge et on a
   :math:`\lim\limits_{n \to \infty} s_n + u_n = S+U`.

-  Si :math:`a \in \mathbb{R}`, la suite
   :math:`(a.s_n)_{n \in \mathbb{N}}` converge et on a
   :math:`\lim\limits_{n \to \infty} a.s_n = a.S`.

-  La suite :math:`(s_n . u_n)_{n \in \mathbb{N}}` convergent et on a
   :math:`\lim\limits_{n \to \infty} s_n . u_n = S.U`.

-  Si :math:`U \neq 0`, la suite
   :math:`(\frac{s_n}{u_n})_{n \in \mathbb{N}}` converge et on a
   :math:`\lim\limits_{n \to \infty} \frac{s_n}{u_n} = \frac{S}{U}`.

À présent, décrivons comme intéragissent les limites avec les inégalités
(non-strictes) :

| 

**Théorème 4.2.2** (Théorème du sandwich). Soient trois suites :math:`(s_n)_{n \in \mathbb{N}}`,
:math:`(u_n)_{n \in \mathbb{N}}` et :math:`(v_n)_{n \in \mathbb{N}}`
avec pour tout :math:`n \in \mathbb{N}` : :math:`s_n \le u_n \le v_n` et
telles que :math:`(s_n)_{n \in \mathbb{N}}` converge vers
:math:`S \in \mathbb{R}` et :math:`(V_n)_{n \in \mathbb{N}}` converge
vers :math:`V \in \mathbb{R}`. Alors :

-  Sa suite :math:`(u_n)_{n \in \mathbb{N}}` converge vers
   :math:`U \in \mathbb{R}`, on a nécessairement :math:`S \le U \le V`.

-  Si :math:`S=V`, alors la suite :math:`(u_n)_{n \in \mathbb{N}}`
   converge nécessairement vers un nombre :math:`U \in \mathbb{R}` qui
   est en fait égal à :math:`S` et :math:`V`.

Pour terminer, donnons un théorème nommé en l’honneur du mathématicien
qui a inventé la définition moderne de limite :

| 

**Théorème 4.2.3** (Théorème du Weierstrass). Soit une suite :math:`(s_n)_{n \in \mathbb{N}}`. Si
:math:`(s_n)_{n \in \mathbb{N}}` est croissante et est majorée, alors
:math:`(s_n)_{n \in \mathbb{N}}` converge nécessairement et sa limite
est le plus petit de ses majorants.

**Remarque 4.2.4.** Ce théorème reste valable si l’on remplace croissante par décroissante,
majorée par minorée et plus petit de ses majorants par plus grand de ses
minorants .

| 

**Exercice 4.2.5.** 

.. inginious:: suite12_1
.. inginious:: suite12_2
.. inginious:: suite12_3
.. inginious:: suite12_4
.. inginious:: suite12_5