5 Conclusion : retour sur les problèmes de l’introduction (optionnel)
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Finalement, rassemblons tout ce que nous avons appris dans ce chapitre
pour résoudre certains des problèmes de l’introduction.

5.1 Paradoxe de la flèche : la solution
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| Selon Zénon, la distance que doit parcourir la flèche pour atteindre
  la cible,
  :math:`\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + ...`
  ne peut qu’être infinie car correspondant à une somme d’une infinité
  de distances/de termes strictement positifs. Cela contredit
  l’intuition géométrique et l’expérience physique, d’où le paradoxe.
| Heureusement, nous sommes à présent capables d’exprimer clairement le
  sens de l’expression
  :math:`\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + ...` :
  on peut en effet la voir comme la limite d’une suite consistant en les
  sommes finies des :math:`n+1` premiers termes d’une suite géométrique
  de terme initial :math:`b=\frac{1}{2}` et de raison
  :math:`q=\frac{1}{2}` :

  .. math:: \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{i=0}^{n} \frac{1}{2} . \left(\frac{1}{2}\right)^i

  De plus, nous avons à présent une formule pour calculer ces sommes
  finies :

  .. math:: \sum\limits_{i=0}^{n} \frac{1}{2} . \left(\frac{1}{2}\right)^i = \frac{1}{2} . \frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}

  Et nous sommes donc en mesure de calculer notre limite :

  .. math:: \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{i=0}^{n} \frac{1}{2} . \left(\frac{1}{2}\right)^i = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{2} . \frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{2}} = \lim\limits_{n \to \infty} 1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} = 1-0=1

  Contrairement à ce que Zénon pensait, la suite
  :math:`(\sum\limits_{i=0}^{n} \frac{1}{2} . (\frac{1}{2})^i)_{n \in \mathbb{N}}`
  ne diverge pas vers :math:`+\infty` mais converge bien vers :math:`1`
  ! Cela rejoint l’intuition géométrique et l’expérience physique : le
  paradoxe est donc résolu.

| 

5.2 0,999... < 1 ou 0,999... = 1 ?
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| Nous allons à présent pouvoir trancher : a-t-on :math:`0,999... < 1`
  ou :math:`0,999... = 1` ?
| À nouveau, les :math:`...` expriment la présence d’une limite
  dissimulée. En fait, lorsqu’on écrit :math:`0,999...`, on écrit de
  façon raccourcie la limite suivante :

  .. math::

     \begin{aligned}
     0,999...& = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... \\
     &= \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \frac{9}{1000} + ... \\
     &= \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{i=0}^{n} \frac{9}{10} . \left(\frac{1}{10}\right)^i\end{aligned}

  (Le fait que les :math:`...` correspondent à une limite n’est pas
  révélé en primaire ou en début de secondaire pour des raisons
  évidentes.)
|   
| Puisque nous sommes à présent d’exprimer clairement le nombre
  :math:`0,999...`, nous devrions être également capables de démontrer
  si ce nombre est strictement plus petit que :math:`1` ou égal à
  :math:`1` :

  .. math:: \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{i=0}^{n} \frac{9}{10} . \left(\frac{1}{10}\right)^i = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{9}{10} . \frac{1-\left(\frac{1}{10}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{10}} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{90}{90}\left(1-\left(\frac{1}{10}\right)^{n+1}\right) = 1.(1-0)=1

  Ce qui clôt la discussion.

| 

**Exercice 5.2.1.** On vous affirme depuis longtemps que :math:`\frac{1}{3} = 0,333...`. En
écrivant correctement :math:`0,333...` sous la forme d’une limite,
démontrez-le.

**Solution**
|   
| :math:`\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{i=0}^{n} \frac{3}{10} . \left(\frac{1}{10}\right)^i = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{3}{10} . \frac{1-\left(\frac{1}{10}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{10}} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{30}{90}\left(1-\left(\frac{1}{10}\right)^{n+1}\right) = \frac{1}{3}.(1-0)=\frac{1}{3}`

| 

**Exercice 5.2.2.** 

.. inginious:: suite14_1

| 

**Exercice 5.2.3.** 

.. inginious:: suite14_2

.. [1]
   Nous les retrouverons avec un autre point de vue dans le prochain
   chapitre.