Théorie

Les fonctions exponentielles et logarithmes

1. Définition

Soit un nombre .

L’exponentielle de base , ( ) est

une fonction de dans qui à chaque fait correspondre une image notée ou qui se définit de la manière suivante:

  • si est un rationnel, c-à-d qu’il s’écrit sous la forme avec et entiers premiers entre eux alors .

On prolonge cette fonction sur de manière continue:

  • si est un irrationnel; il existe une suite de rationnels telle que , alors

Si un phénomène (par ex. une population) évolue de sorte que, sur des intervalles de temps égaux, il s’accroit dans la même proportion, on dira qu’il a une croissance exponentielle ; il peut s’exprimer au moyen d’une fonction exponentielle:

Appelons la population au temps . Si elle est multipliée par 2 durant l’unité de temps, on a .

De manière générale, si une quantité Q(t) évolue de manière exponentielle et que le facteur multiplicatif par unité de temps est a, on a constante, en particulier , son équation est : .

Le logarithme de base a ( ) est la réciproque de la fonction exponentielle ; c’est donc une fonction de dans qui à chaque fait correspondre un nombre noté tel que .

Autrement dit, le logarithme en base d’un nombre est l’exposant qu’il faut mettre à pour obtenir une puissance égale à ce nombre.

2. Propriétés du logarithme

Ces propriétés se démontrent en utilisant les propriétés des exposants.

3. Formule de changement de base