Théorie

1. Primitive

Définition

Soit une fonction réelle définie sur un intervalle réel . est primitivable sur s’il existe une fonction de dans , dérivable sur et telle que

Une telle fonction s’appelle une primitive de sur .

Proposition

Soit de dans primitivable sur l’intervalle réel . Si est une primitive de sur ,

alors de dans est une primitive de sur si et seulement si F-G est constante sur I.

Corollaire

Soit une fonction de dans , définie sur l’intervalle . Pour tout et pour , il existe une primitive de telle que

Prenons un exemple. À la figure 1, on a représenté une fonction. À la figure 2, on peut voir quelques primitives de cette fonction sur l’intervalle [-3,3]. Le corollaire ci-avant exprime que par tout point du plan dont l’abscisse est située dans l’intervalle adéquat, passe le graphique d’une primitive.

Figure 1

Figure 2

On note

l’ensemble des primitives de la fonction sur un intervalle donné.

Primitives immédiates

Propriétés

Primitivation par parties

Soient et deux fonctions à valeurs dans , dérivables sur un intervalle réel. Alors est primitivable sur si et seulement si l’est, auquel cas

La démonstration se déduit de la formule de dérivation de . Comme

On peut en déduire, en utilisant la propriété (2) du paragraphe 1.5, que

Ce qui nous conduit aisément à l’égalité à démontrer.

Illustrons cette méthode de primitivation par un exemple. Soit à calculer

Si on pose , , il en résulte que , et grâce au théorème de primitivation par partie, on a :

Primitivation par substitution

Le théorème

La dérivée de la composée de deux fonctions est un produit. Si la fonction est dérivable en une valeur de son domaine, si la fonction est définie et dérivable en f(x),

alors est dérivable en et

Si on primitive les deux membres de l’égalité, sachant qu’une primitive de la dérivée d’une fonction est la fonction elle même, on a

Pourquoi parle-t-on de substitution? Parce qu’une façon de faire consiste à substituer une variable à la variable . Pratiquement, on pose . Comme exprime la variation de par rapport à , on écrit encore que , que l’on nomme différentielle.

Ce qui nous conduit à une reformulation de l’égalité (4):

Une fois la primitivation en effectuée, on remplace par sa valeur en fonction de .

Deux primitivations particulières s’avèrent presque immédiates à la suite du résultat (4):

Dans ce cas .

Dans ce cas .

Illustrons le première. Soit à calculer

En écrivant la tangente comme quotient du sinus et du cosinus, l’opposé du sinus étant la dérivée du cosinus, on a :

Prenons un autre exemple de substitution qui ne relève pas de ces deux cas particuliers (6) et (7). Soit à calculer

On pose , et . Dés lors

Un autre lecture

L’égalité (5) est valable quelles que soient les variables et les fonctions… Si on la lit de droite à gauche en substituant à , à et à , on a

Dans une première lecture de la primitivation par substitution, on avait posé . Dans le cas présent (on parle également de changement de variables), on pose et . Mais c’est toujours le même théorème.

2. Intégrale

Pour calculer l’aire sous une courbe, une méthode consiste à approcher cette aire par une somme d’aires de rectangles. Si la fonction est positive et croissante, on peut considérer une fonction en escalier qui minore la fonction (figure 3) et une autre qui la majore (figure 4). En prenant de plus en plus de rectangles ayant des bases d’autant plus petites, on approche d’autant mieux l’aire cherchée.

Figure 3

Figure 4

Définition

Soit est une fonction définie sur un intervalle réel , on divise cet intervalle en sous-intervalles de largeur égale 1. Les bornes de ces intervalles sont

On choisit un valeur à l’intérieur de chaque sous-intervalle

Si est continue sur , alors est intégrable sur et l’intégrale définie de depuis jusque vaut

la limite étant indépendante du choix des . Dans l’hypothèse de largeur constante des intervalles, cela devient

Aire et intégrale

Géométriquement, l’intégrale définie correspond à l’aire comprise entre le graphique de la fonction , l’axe des abscisses et les droites d’équations et (figure 5) lorsque la fonction est positive.

Figure 5

Par contre, lorsque la fonction est négative (figure 6), l’intégrale est négative. Pour trouver l’aire comprise entre le graphique et l’axe des abscisses, il faut prendre l’opposée de l’intégrale.

Figure 6

Propriétés

Ces propriétés découlent assez naturellement de la définition d’intégrale définie.

Théorème fondamental

Si est une fonction de dans continue et primitivable sur un intervalle , si est une primitive de sur cet intervalle, considérons la fonction appelée intégrale généralisée et définie comme suit

Si est positive 2, est assimilable à l’aire hachurée de la figure 7. Calculons la dérivée de G, on a

Figure 7

Comme toute dérivée, il s’agit de la limite d’un taux d’accroissement. La différence, au numérateur de ce taux, correspond à l’aire hachurée de la figure 8, c’est-à-dire l’aire d’un rectangle infinitésimal. Si on divise cette différence par la largeur de ce rectangle, on obtient la hauteur du rectangle, à savoir (quand devient très petit). En résumé,

Figure 8

Comme est primitivable, étant une primitive de , on peut écrire, à partir des propriétés des primitives, que ( étant un réel)

ou encore

Quand , on a

Comme le premier membre de l’égalité est nul, on peut en déduire que

Quand , on a

Cela nous donne le moyen de calculer une intégrale définie: pour ce faire, il faut chercher une primitive de la fonction et la calculer aux bornes de l’intervalle d’intégration. Prenons un exemple. Soit à calculer l’aire déterminée par l’axe des abscisses et le graphique de la fonction sinus entre 0 et (figure 1). Cette aire est égale à

3. Volume

Considérons une fonction continue sur un intervalle réel. Considérons également le solide de révolution engendré par la rotation autour de l’axe , de la surface plane délimitée par le graphique de et l’axe . On veut calculer le volume de ce solide de révolution. Pour déterminer l’aire sous le graphique, on a considéré une subdivision de l’intervalle en sous-intervalles et une fonction en escalier (constante sur chaque sous-intervalle) qui approche la fonction considérée. Si on fait encore de même, chaque palier de la fonction en escalier va engendrer en tournant autour de l’axe , un cylindre (figure 9) et la fonction en escalier dans son entièreté engendrera un empilement de cylindres. Chaque cylindre dont la base est située à l’abscisse x a pour volume

En passant à la limite sur , on obtiendra le volume du solide de révolution qui vaut donc

Figure 9

4. Moyenne d’une fonction

La valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle est le réel

Pour une fonction positive, c’est un réel tel que l’aire “sous la courbe” entre et soit égale à l’aire du rectangle de dimensions et .

La valeur moyenne de la fonction sinus sur vaut (figure 10). La valeur moyenne de cette même fonction sur est égale à 0.

Figure 10

5. Mouvements

Il a été vu précédemment que, dans un mouvement rectiligne, la vitesse est obtenue comme dérivée de la position en fonction du temps. L’accélération est, quant à elle, la dérivée de la vitesse. Dès lors, pour déterminer la fonction position à partir de la fonction vitesse, il faut chercher les primitives de la vitesse. Pour déterminer la fonction vitesse à partir de la fonction accélération, il faut chercher les primitives de l’accélération. Pour déterminer les constantes adéquates, on se réfère aux conditions initiales. Considérons, par exemple, un corps de 10 kg en chute libre, après avoir été lancé avec une vitesse initiale de 5 m /sec vers le haut et d’une hauteur de 13 m. Son accélération est celle de la pesanteur, à savoir ou -9,81 m/sec. On a donc

On peut en déduire que

Pour déterminer , on s’intéresse au temps . On sait que la vitesse initiale est de 5 m/sec. D’où

Pour la position, on a

Quand t = 0,

Finalement

6. Travail

Si un corps est soumis à une force variable en fonction de la position, le travail produit par la force est égal à

où est l’espace parcouru et est la composante de la force dans la direction du déplacement.

Considérons à titre d’exemple, le travail fourni par un ressort de raideur newtons par mètre. Pour revenir à sa position initiale quand il est étiré de 10 cm. La force de rappel est , si donne sa position à partir de sa position au repos. Et le travail effectué vaut

1

Ce n’est pas obligatoire de prendre une largeur d’intervalle constante sachant que de toutes façons, on fait tendre le nombre d’intervalles vers l’infini et que la largeur de tous les intervalles va tendre vers 0.

2

Nous choisissons positive pour la facilité du raisonnement mais le résultat reste le même quel que soit le signe de la fonction.