2 Fonctions continues

2.1 Définition et exemples

L’idée de continuité est déjà présente dans le langage courant. Par exemple, on dira que la température d’une pièce (qui n’est chauffée que durant la journée) évolue de façon continue au cours du temps. Sa température est plus basse durant la nuit que durant la journée, mais elle ne passe subitement d’une température basse à une température élevée : la température évolue progressivement et continuement.

On peut donner de nombreux autres exemples de phénomènes continus : les déplacements, la vitesse, l’accélération, le son… En fait, la supposition que tous les phénomènes naturels sont continus est souvent une supposition implicite de notre vie de tous les jours et de la physique classique. Puisque nous avons le réflexe intuitif de formaliser tous ces phénomènes de la nature sous la forme de processus continus, il est pertinent de s’intéresser à cette formalisation que sont les fonctions continues.

De plus, les fonctions continues ont un intérêt mathématique non négligeable et nous permettront d’introduire l’idée de limite de fonction.

Définition 2.1.1. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point. Soit .

On dit que est une fonction continue en si et seulement si pour tout , il existe tel que pour tout tel que , on a .

Remarque 2.1.2. Cette définition, assez technique, ne doit pas vous faire peur. Une lecture intuitive de cette définition est la suivante : si un processus qui dépend d’une variable est continu autour d’une certaine valeur de qui vaut , alors je dois pouvoir approcher les valeurs de autant que je le souhaite si je suis capable d’approcher la valeur de autant que nécessaire. Il est recommandé d’appliquer cette définition sur les deux exemples suivants afin d’analyser celle-ci en profondeur et comprendre en quoi elle formalise l’idée intutive de continuité.

Exemple 2.1.3.

Voici le graphe d’une fonction continue en définie sur . En effet, quelle que soit l’erreur maximale autorisée , quitte à sélectionner des valeurs pour assez proche de (à une distance de d’au plus ), les valeurs approcheront bien la valeur avec une erreur plus petite ou égale à .

Géométriquement, cela correspond au fait qu’il n’y a pas de saut vertical en et que le graphe peut être réalisé d’un seul trait.

Exemple 2.1.4.

Voici le graphe d’une fonction discontinue en définie sur . En effet, en prenant comme erreur maximale autorisée , il est impossible de trouver un tel qu’à toutes les valeurs de possibles à une distance au plus de , la fonction associera un nombre dont la distance avec est plus petite que . La raison étant que juste à gauche de , la fonction prend des valeurs strictement négative alors que .

Géométriquement, cela correspond au fait qu’il y a un saut vertical en et que le graphe ne peut pas être réalisé d’un seul trait.

Remarque 2.1.5. Une caractérisation intuitive des graphes de fonctions continues est qu’il s’agit des fonctions dont le graphe peut être tracé d’un seul trait. Néanmoins, celle-ci est imprécise et peut mener à des erreurs, puisque la continuité ne concerne que les sauts dans les valeurs d’une fonction (autrement dit : les sauts verticaux dans le graphe de la fonction) et non son domaine de définition (les sauts horizontaux dans le graphe de la fonction). Permettons-nous d’insister : il ne fait pas sens de parler de continuité d’une fonction en un point où elle n’est pas définie ! Par exemple, la fonction inverse :

Cette fonction est bien partout continue ! Il ne fait pas sens d’affirmer qu’elle est discontinue en , puisqu’elle n’est même pas définie en .

Définition 2.1.6. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point. Soit .

On dit que est une fonction continue si elle est continue en tous les points de son domaine de définition.

Exercice 2.1.7. Donner le domaine de définition des fonctions dont les graphes sont les suivants, puis déterminer si elles sont continues ou non. Si elles ne sont pas continues, donner l’ensemble des points où elles sont discontinues.

2.2 Continuité des fonctions de référence

Les fonctions de référence servent de briques de base pour construire des fonctions plus complexes. Il serait intéressant de déterminer si les fonctions de références sont continues et si les fonctions créées à partir de celles-ci héritent de cette propriété.

Pour commencer, nous avons le théorème :

Théorème 2.2.1. Toutes les fonctions de référence sont continues.

Démonstration Pas en math 4. 1

Remarque 2.2.2. De toutes les fonctions de référence, seule la fonction inverse n’a pas un graphe qui peut être tracé d’un seul trait . À nouveau, il s’agit dans ce cas d’une question de domaine (la fonction inverse n’est pas définie en puisqu’il ne fait pas sens de diviser par ) et non de continuité.

Exemple 2.2.3. Par exemple, la fonction racine cubique est continue :

2.3 Propriétés des fonctions continues

Commençons avec un exemple :

Exemple 2.3.1. Considérons les deux fonctions :

et

dont les graphes sont les suivants :

Ces deux fonctions sont continues : leurs graphes peuvent être tracés d’un seul trait, il n’y a pas de saut vertical.

Que se passe-t-il si on additionne ces deux fonctions, autrement dit si on considère la fonction ? Au niveau des graphes, cela revient à additionner les ordonnées des points des graphes de et qui ont la même abscisse.

Sans surprise, aucune discontinuité n’est apparue. En additionnant deux fonctions continues, on a obtenu une nouvelle fonction continue. Ce n’est pas un hasard, comme l’indique la proposition suivante.

Proposition 2.3.2. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point. Soient et deux fonctions continues. Alors :

1. La fonction est continue.

2. La fonction est continue.

3. La fonction est continue.

4. La fonction est continue.

Démonstration Pas en math 4. Voir annexe pour les curieux.

De manière éventuellement plus surprenante, la composée de deux fonctions continues (compatibles) est également toujours une fonction continue :

Proposition 2.3.3. Soit deux intervalles. Soient et deux fonctions continues telle que . Alors : est continue.

Démonstration Pas en math 4.

Une dernière opération qui conserve la continuité est la restriction :

Définition 2.3.4. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point. Soit . Soit . Alors la restriction de sur est la fonction :

Exemple 2.3.5. Soit la fonction :

dont le graphe est :

La restriction de sur, par exemple, , est la fonction :

et son graphe est :

Comme annoncé, la restriction d’une fonction continue est toujours continue :

Proposition 2.3.6. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point. Soit une fonction continue. Soit . Alors la restriction de sur est continue.

Démonstration Pas en math 4. Notons néanmoins que la démonstration est extrêment simple.

Grâce au théorème 2.2.1, nous savons que toutes les fonctions de référence sont continues. Or, les propositions 2.3.2, 2.3.3 et 2.3.6 nous disent que lorsqu’on combine deux fonctions continues selon une des opérations sur les fonctions les plus simples, nous pouvons être certains que le résultat est lui aussi une fonction continue. Ainsi, nous sommes à présent capables de justifier la continuité de nombreuses fonctions.

Exercice 2.3.7. Les fonctions suivantes sont-elles continues ? Si oui, justifier. Si non, faire le graphe de la fonction et donner l’ensemble des points de discontinuité.

2.4 Grands théorèmes des fonctions continues (optionnel)

Dans cette section, nous allons lister les grands résultats associés aux fonctions continues.

Le premier est assez intuitif. Pour reprendre l’exemple de l’introduction de la température dans une pièce, si on suppose que la température de la pièce était de à minuit et qu’elle est de à midi et qu’on choisit une température en et , par exemple , on est intuitivement convaincu qu’il y a eu au moins un court instant dans la matinée où la température de la pièce était de (puisque le phénomène est continu, on doit bien passer par toutes les valeurs intermédiaires entre et pour passer de à ). Cette intuition est formalisée par le théorème suivant :

Théorème 2.4.1 (Théorème des valeurs intermédiaires). Soit un intervalle de la forme . Soit une fonction continue. Pour tout compris entre et , il existe tel que .

Démonstration Pas en math 4. 2

Exemple 2.4.2. Considérons la fonction suivante qui est la restriction de la fonction carrée sur .

Puisque cette fonction est continue, , et , on peut être certain qu’il existe une abscisse entre et telle que la valeur de cette fonction en vaut exactement (dans ce cas-ci, il est possible de déterminer ce (qui est ici unique) : ).

Remarque 2.4.3. Le théorème n’affirme pas que l’abscisse telle que est unique ! Comme le montre l’exemple suivant (où on choisit pour l’ordonnée , qui se trouve entre et ), il peut y avoir plusieurs abscisses de cette sorte :

La fonction vaut en , en et en .

Le théorème des valeurs intermédiaires a de nombreuses applications et pas seulement des applications purement théoriques. Il permet par exemple de justifier la validité d’une solution à un problème relativement courant dans la vie de tous les jours : une table bancale.

Nous renvoyons vers cette vidéo de l’excellente chaîne youtube Numberphile de vulgarisation mathématique pour plus de détails à ce sujet : https://www.youtube.com/watch?v=OuF-WB7mD6k. À présent, donnons l’autre fameux théorème concernant les fonctions continues :

Théorème 2.4.4. Soit un intervalle de la forme . Soit une fonction continue. est nécessairement bornée et atteint ses bornes, autrement dit a un point de minimum et un point de maximum.

Démonstration Pas en math 4. 3

Remarque 2.4.5. Dans le prochain chapitre, nous nous intéresserons beaucoup aux (points de) minimum et maximum d’une fonction. Ce théorème des bornes atteintes nous dit que pour une fonction continue définie sur un intervalle fermé, nous pouvons être certain qu’un point de minimum et qu’un point de maximum existe, mais il ne nous dit pas comment les trouver.

Remarque 2.4.6. La fonction dont le graphe est ci-dessous est définie sur un intervalle de la forme et est continue :

Il s’agit de la fonction :

Nous serions bien incapables (à ce stade) de déterminer quel est le (point de) maximum et le (point de) minimum de cette fonction, mais nous sommes certains que ceux-ci existent bel et bien (visuellement, on les identifie immédiatement sans pour autant être capable de les déterminer exactement).

2.5 Prolongements continus

Exemple 2.5.1. Voici le graphe d’une fonction définie sur qui est continue :

Il ne fait pas sens de dire qu’elle est discontinue (ou continue) en puisqu’elle n’est pas définie en .

Exemple 2.5.2. Voici le graphe d’une autre fonction définie sur qui est continue :

Il ne fait pas sens de dire qu’elle est continue (ou discontinue) en puisqu’elle n’est pas définie en .

Dans les deux cas, nous avons une fonction continue. Néanmoins, intuitivement, il y a une différence de ces deux situations. Pour la première fonction, il n’est pas possible de la prolonger en une fonction continue, c’est-à-dire d’étendre la fonction en la définissant en de sorte que le résultat final soit continu, même en . Par contre, pour la deuxième fonction, il est possible de trouver un tel prolongement continu : il suffit d’étendre la fonction en la définissant en en décidant que le prolongement de la fonction vaut en . Cette intuition correspond au fait que la deuxième fonction possède un prolongement continu tandis que la première non.

Donnons la définition de prolongement continu d’une fonction.

Définition 2.5.3. Soit un intervalle et soit . Soit .

Un prolongement continu de sur est une fonction qui est continue (y compris en ) et telle que pour tout , on a .

Exemple 2.5.4. La fonction de l’exemple 2.5.1 ne possède pas de prolongement continu. Par contre, la fonction de l’exemple 2.5.2 possède un prolongement continu dont le graphe est le suivant :

Dans le cas de cet exemple, puisque nous possédions déjà le graphe de la fonction, ce prolongement continu n’était pas très difficile à trouver.

Mais plus généralement, comment savoir si pour une fonction (où est un intervalle et ) donnée, cette fonction admet un prologement continu ? Intuitivement, il n’est pas très difficle de répondre à cette question : il faut que la fonction se rapproche d’une certaine valeur lorsqu’on se rapproche de , et ce de manière uniforme (il faut que la valeur de laquelle se rapproche par la gauche soit la même que celle de laquelle se rapproche par la droite ). Néanmoins, cette réponse intuitive soulève au moins trois questions.

1. Que signifie rigoureusement que la fonction se rapproche d’une valeur lorsqu’on se rapproche de ?

2. Comment savoir si la fonction se rapproche bien d’une certaine valeur de manière uniforme et définitive lorsqu’on se rapproche de ?

3. Si se rapproche bien d’une certaine valeur de manière uniforme et définitive lorsqu’on se rapproche de , comment calculer cette valeur ?

Pour répondre à ces questions, nous avons besoin d’une nouvelle notion : celle de limite de fonction.

1

Remarque : pour la plupart des fonctions de référence, la démonstration n’est pas très compliquée. N’hésitez pas à essayer de faire vous-même la preuve par exemple pour une fonction constante ou pour la fonction identité.

2

La démonstration de ce théorème est en fait assez compliquée et nécessite de bien comprendre les propriétés fondamentales des nombres réels. Heureusement, son énoncé est très intuitif.

3

La démonstration de ce théorème est aussi assez compliquée.