3 Limites de fonctions

3.1 Définition et exemples

Pour découvrir la notion de limite qui est la formalisation de l’idée intuitive se rapprocher de (de façon définitive et uniforme) , commençons avec un exemple :

Définition 3.1.1. Soit la fonction

Son graphe est le suivant :

Au fur et à mesure que la variable se rapproche de , de quelle valeur se rapproche ? Pour nous aider à y voir plus clair, évaluons la fonction en plusieurs nombres qui se rapprochent de :

Plus la variable se rapproche de , plus se rapproche de et ce de manière uniforme et définitive : non seulement on se rapproche de cette valeur aussi bien par la droite que par la gauche , mais ce rapprochement se fait autant que possible (sans pour autant que la fonction ne prenne jamais la valeur ) : les valeurs de se rapprochent autant qu’on le souhaite de la valeur à condition que les valeurs de soient assez proches de .

Pour préciser cette idée intuitive, on peut se donner un petit test pour vérifier si la fonction se rapproche bien de quand les se rapprochent de : si on se fixe une certaine marge d’erreur autour de (par exemple une marge d’erreur de ), les valeurs de la fonction ne s’éloignent pas de d’une distance supérieure à l’erreur fixée à condition que les choisis soient assez proches de (avec une marge d’erreur de , les disponibles sont ceux ne s’éloignant pas de de plus de ). Si la fonction se rapproche bien de quand les se rapprochent de , alors ce test devrait fonctionner quel que soit la marge d’erreur (non nulle) qu’on s’est donnée, même si celle-ci est extrêmement petite. Cette idée relativement naturelle mais complexe est en fait la définition rigoureuse de la notion de limite.

Définition 3.1.2. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point . Soit .

On dit que a une limite en si pour toute marge d’erreur , il existe tel que pour tout qui est à une distance plus petite ou égale de que , c’est-à-dire tel que , on a nécessairement que est à une distance plus petite ou égale de que , c’est-à-dire qu’on a . Dans ce cas, on note :

Exemple 3.1.3. La fonction

a comme limite en . On note :

Remarque 3.1.4. Notons que dans l’exemple ci-dessus, la fonction possède une limite en qui vaut mais est également définie en de telle sorte que . Il est important de comprendre qu’une limite d’une fonction en un point (si elle existe) n’est pas toujours égale à la valeur de la fonction en ce point (la fonction peut même ne pas être définie en ce point). C’est d’ailleurs tout l’intérêt de la notion de limite : elle permet de parler d’une valeur de laquelle se rapproche une fonction en un point sans que cette fonction ne soit jamais égale à cette valeur.

Voici à présent un théorème important mais que nous ne pourrons malheureusement pas démontrer :

Théorème 3.1.5. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point . Soit . Si possède une limite en , alors cette limite est unique.

Il fait donc sens de parler de LA limite d’une fonction en un point. Ce théorème ne devrait pas vous surprendre : si on se rapproche de manière uniforme et définitive d’un endroit, on ne peut pas en même temps se rapprocher de manière uniforme et définitive d’un autre endroit.

Donnons à présent quelques exemples de limites de fonction pour visualiser cette nouvelle notion.

Exemple 3.1.6. Soit la fonction carrée, dont le graphe est :

Cette fonction possède une limite en et cette limite vaut : .

Pour cette fonction, notons qu’on a .

Exemple 3.1.7. Soit la fonction dont le graphe est :

Cette fonction ne possède pas de limite en : quand les se rapprochent de , les ne se rapprochent pas uniformément d’un unique nombre (ils se rapproche de par la gauche et de par la droite ).

Exemple 3.1.8. Soit la fonction dont le graphe est :

La fonction n’est pas définie en mais elle possède néanmoins une limite en : quand les se rapprochent de , les se rapprochent uniformément et définitivement de . On note :

Définition 3.1.9. Soit la fonction dont le graphe est :

La fonction n’est pas définie en mais elle possède néanmoins une limite en : quand les se rapprochent de , les se rapprochent uniformément et définitivement de . On note :

Exercice 3.1.10. À l’aide d’un graphique, déterminer si les limites suivantes existent. Si oui, donner les valeurs de celles-ci.

Exercice 3.1.11. Voici le graphe de la fonction . Déterminer si les limites suivantes existent. Si oui, donner les valeurs de celles-ci.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Exercice 3.1.12. Tracer le graphe d’une fonction définie sur qui n’a pas de limite en et qui a une limite en qui vaut .

Solution.

Exercice 3.1.13. Déterminer si les limites suivantes si elles existent.

Exercice 3.1.14. Tracer le graphe d’une fonction ayant les propriétés suivantes :

1. dom

2. est continue partout sauf en .

3. n’a pas de limite en et en

4. a une limite en qui vaut et une limite en qui vaut

5. et

6. a exactement deux racines et elles se trouvent entre et .

Solution.

3.2 Lien entre la continuité et les limites de fonctions

Dans la section précédente, nous avons pu observer que dans certains cas, la limite d’une fonction en un point où cette fonction est définie existe et est simplement égale à la valeur de la fonction en ce point. Dans tous les cas observés, la fonction était justement définie et continue en ce point. Il ne s’agit pas d’un hasard.

Théorème 3.2.1. Soit un intervalle . Soit . Soit . Alors est continue en si et seulement si a une limite en et .

Malheureusement, la démonstration de ce théorème sort du cadre de ce cours.

Remarque 3.2.2. Il est vraiment dommage que nous ne puissions pas nous attarder sur la démonstration de ce théorème. En effet, celui-ci permet de relier la continuité aux limites, dont les définitions se ressemblent. Cette ressemblance n’est pas anodine : historiquement, ces deux notions ont été développées parallèlement et les mêmes idées ont été utilisées de part et d’autre pour arriver aux définitions actuelles.

Nous pouvons néanmoins expliquer brièvement la démonstration du théorème à partir de nos intuitions. Si une fonction est continue en un point, cela correspond au fait que son graphe ne possède pas de saut vertical en ce point, autrement dit que je peux approcher autant que je le souhaite la valeur de cette fonction en ce point à condition d’être assez proche de ce point. On retrouve assez directement l’intuition de limite : si les abscisses du graphe de la fonction se rapprochent du point considéré, les ordonnées se rapprochent donc nécessairement de l’image de ce point par la fonction, autrement dit la limite de la fonction en ce point est égale à l’image de la fonction en ce point. L’autre sens de la démonstration est tout aussi intuitif.

Avec ce théorème, nous pouvons calculer des limites de certaines fonctions sans pour autant pouvoir/devoir réaliser leurs graphes ! Donnons immédiatement un exemple.

Exemple 3.2.3. Soit la fonction

Supposons qu’on souhaite calculer la limite de cette fonction en . Cette fonction est continue car c’est la somme de deux fonctions de référence (la fonction cubique et la fonction racine cubique) qui sont continues. Par le théorème 3.2.1, puisque est bien définie et continue en , on peut donc affirmer que la limite existe et vaut .

Exercice 3.2.4. Calculer les limites suivantes et justifier.

3.3 Lien entre les prolongements continus et les limites de fonctions

Dans la section précédente, nous avons vu que calculer la limite d’une fonction en un point où elle est définie et continue est on ne peut plus simple. Mais qu’en est-il si on veut calculer la limite d’une fonction en un point où elle n’est pas définie ? Commençons avec un exemple.

Exemple 3.3.1.

Considérons la fonction :

Cette fonction n’est pas définie en mais on pourrait se demander si elle possède malgré tout une limite en . Malheureusement, nous ne pouvons pas invoquer le théorème 3.2.1 pour cette éventuelle limite puisque bien que la fonction soit continue partout sur son domaine de définition, elle n’est pas définie en . Si nous pouvions trouver un prolongement continu de cette fonction défini en , nous pourrions aisément calculer cette limite en appliquant le théorème 3.2.1. En fait, l’existence de ce prolongement continu correspond précisément à l’existence de la limite que nous recherchons et la valeur de cet éventuel prolongement continu en est précisément la valeur de la limite recherchée ? Dès lors, comment déterminer si la fonction possède un prolongement continu en ? Pour ce faire, jouons un peu avec l’expression de et simplifions. Pour tout :

Pour tout , nous avons donc . Attention néanmoins : cette égalité est valable seulement si . Elle n’a pas de sens si .

Malgré cela, remarquons que l’expression fait sens même si : . Autrement dit, si on pose :

La fonction est définie partout même en , est continue (y compris en ) et est telle que pour tout : . Il s’agit d’un prolongement continu de !

Pour la fonction , nous pouvons appliquer le théorème 3.2.1 : . Or, comme pour tout : , on a donc :

En conclusion, la limite que nous recherchions existe et vaut .

Dans l’exemple ci-dessus, nous avons relié l’existence d’une limite en un point où une fonction n’était pas définie à l’existence d’un prolongement continu de cette fonction en ce point. Nous avons vu qu’un tel prolongement continu existait et que sa valeur au point où la fonction initiale n’était pas définie correspondant précisément à la valeur recherchée. Ce n’est pas un hasard :

Théorème 3.3.2. Soit un intervalle . Soit . Soit .

Alors admet une limite en si et seulement si admet un prolongement continu en . De plus, si la valeur de cette éventuelle limite est égale à l’image de cet éventuel prolongement continu en .

Une fois de plus, nous ne pouvons malheureusement pas démontrer ce théorème dans ce cours. Mais à ce stade, celui-ci ne devrait pas vous surprendre. En effet, la notion de limite est précisément l’outil dont nous avions besoin pour répondre aux trois questions finales de la section 2.5. Grâce au théorème 3.3.2, nous pouvons à présent calculer des limites un peu moins triviales que celles que nous avons calculées dans la section précédente. En effet, lorsqu’on souhaite calculer la limite d’une fonction en un point où elle n’est pas défini, il suffit donc de rechercher un prolongement continu de cette fonction, ce qui peut se faire en manipulant et en simplifiant son expression.

Exercice 3.3.3. Les limites suivantes existent. Calculer celles-ci.

Remarque 3.3.4. Certaines personnes (pour être honnête : de nombreuses personnes) peu rigoureuses appliquent parfois la conclusion du théorème 3.2.1 même dans des cas où cette application n’est pas légitime, par exemple quand la fonction dont ils veulent calculer la limite n’est pas définie au point où ils veulent déterminer l’éventuelle limite. Pour donner un exemple précis, ces personnes écrivent :

Ces personnes appellent alors ce genre de situation une indétermination .

Je vous interdis de faire de même dans ce cours.

Ce type de pratique est non rigoureuse et illogique (on applique un théorème alors que les hypothèses de ce théorème ne sont pas respectées), dangereuse (cela nuit à la compréhension de l’idée de limite (et d’infini) et fait écrire des suites de symboles qui n’ont pas de sens) et inutile (de nombreux mathématiciens dans le monde calculent des limites très efficacement sans avoir besoin d’écrire de telles horreurs). Plutôt que de ne pas réfléchir et d’écrire de façon automatique des choses qui n’ont pas de sens, prenez toujours le temps de vérifier si les hypothèses des résultats que vous souhaitez invoquer sont vérifiées et d’être certain de comprendre ce que vous êtes en train de faire.

3.4 Divergence de fonctions en un point

Lorsqu’une fonction possède une limite en un point, on dit qu’elle converge en ce point. Que peut-il se passer lorsque qu’une fonction ne converge pas en un point, c’est-à-dire ne possède pas de limite en ce point ?

Il y a de nombreuses possibilités, mais une de ces possibilités est particulièrement intéressante : la fonction peut diverger. Pour découvrir cette nouvelle notion, commençons avec un exemple.

Exemple 3.4.1. Considérons la fonction :

dont voici le graphe :

Que se passe-t-il quand les se rapprochent de ? Les ne se rapprochent certainement pas d’un nombre réel ! Si on teste avec certaines valeurs de qui se rapprochent de , on constate immédiatement que les deviennent de plus en plus grands :

On remarque même qu’à condition de se rapprocher suffisament de , les valeurs de la fonction deviendront aussi grandes que l’on veut. Autrement dit, on peut se donner n’importe quelle borne supérieure, les valeurs de cette fonction dépassent par le haut cette borne supérieure de façon uniforme et définitive à condition de choisir des suffisament proche de . Ce comportement est appelé divergence (vers ) et nous venons d’en donner la définition intuitive.

Donnons à présent la définition rigoureuse de divergence (vers ).

Définition 3.4.2. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point . Soit .

On dit que diverge (vers ) en si pour toute borne supérieure , il existe tel que pour tout qui est à une distance plus petite ou égale de que , c’est-à-dire tel que , on a nécessairement que est plus grand ou égal à , c’est-à-dire que . Dans ce cas, on note :

Remarque 3.4.3. Attention : cette remarque est extrêmement importante.

Lorsqu’une fonction diverge (vers ) en un point, elle n’a pas de limite en ce point. Diverger vers ne signifie pas se rapprocher d’un nombre appelé ( n’est pas un nombre réel). On utilise pourtant la même notation pour parler de limite et de divergence : cela est extrêmement malheureux et absolument pas pédagogique. Cette notation étant néanmoins utilisée par tous, nous l’utiliserons également.

Insistons bien : ne se lit pas la fonction a comme limite/converge vers en mais bien la fonction diverge vers en . La convergence (avoir une limite) et la divergence sont deux notions complétement différentes.

Exemple 3.4.4. La fonction

dont le graphe est :

diverge vers en . On note : .

Il existe un autre phénomène possible lorsqu’une fonction ne converge pas en un point, très semblable à la divergence vers : il s’agit de la divergence vers . Pour l’introduire, commençons avec un exemple.

Exemple 3.4.5. Considérons la fonction

dont le graphe est :

Que se passe-t-il quand les se rapprochent de ? À nouveau, les ne se rapprochent certainement pas d’un nombre réel ! Si on teste avec certaines valeurs de qui se rapprochent de , on constate immédiatement que les deviennent de plus en plus grands négativement :

On remarque même qu’à condition de se rapprocher suffisament de , les valeurs de la fonction deviendront aussi grandes négativement que l’on veut. Autrement dit, on peut se donner n’importe quelle borne inférieure, les valeurs de cette fonction dépassent par le bas cette borne supérieure de façon uniforme et définitive à condition de choisir des suffisament proche de . Ce comportement est appelé divergence (vers ) et nous venons d’en donner la définition intuitive.

Donnons à présent la définition rigoureuse de divergence (vers ).

Définition 3.4.6. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point . Soit .

On dit que diverge (vers ) en si pour toute borne supérieure , il existe tel que pour tout qui est à une distance plus petite ou égale de que , c’est-à-dire tel que , on a nécessairement que est plus grand ou égal à , c’est-à-dire tel que . Dans ce cas, on note :

Remarque 3.4.7. Même remarque que pour la divergence vers : diverger vers ne signifie pas avoir comme limite un nombre appelé .

Exemple 3.4.8. La fonction

dont le graphe est :

diverge vers en . On note : .

Les trois notions de convergence (avoir une limite), divergence vers et divergence

vers sont mutuellement exclusives. En effet :

• Si une fonction converge (a une limite) en un point, ses valeurs ne peuvent pas devenir arbitrairement grandes (que ce soit positivement ou négativement) puisque qu’elle se rapproche de la limite (qui est un nombre réel).

• Si une fonction diverge vers en un point, ses valeurs ne peuvent se rapprocher d’un nombre réel (puisque celles-ci deviennent de plus en plus grandes positivement au fur et à mesure qu’on se rapproche du point où la fonction diverge) et ne peuvent devenir arbitrairement grandes négativement (puisque celles-ci deviennent de plus en plus grandes positivement au fur et à mesure qu’on se rapproche du point où la fonction diverge).

• Si une fonction diverge vers en un point, ses valeurs ne peuvent se rapprocher d’un nombre réel (puisque celles-ci deviennent de plus en plus grandes négativement au fur et à mesure qu’on se rapproche du point où la fonction diverge) et ne peuvent devenir arbitrairement grandes négativement (puisque celles-ci deviennent de plus en plus grandes négativement au fur et à mesure qu’on se rapproche du point où la fonction diverge).

Pour résumer ces trois remarques, nous avons la proposition suivante :

Proposition 3.4.9. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point . Soit .

• Si possède une limite en , alors ne diverge pas vers en et ne diverge pas vers en .

• Si diverge vers en , alors ne possède pas une limite en et ne diverge pas vers en .

• Si diverge vers en , alors ne possède pas une limite en et ne diverge pas vers en .

Avant de nous lancer dans les exercices pour nous familiariser avec ces deux nouvelles notions de divergence vers et de divergence vers , donnons quelques exemples et contre-exemples supplémentaires.

Contre-exemple 3.4.10. Les seules fonctions de référence qui ne sont pas définies sur tout sont la fonction racine carrée et la fonction inverse. Nous savons déjà que la fonction racine carrée a comme limite lorsque tend vers , mais qu’en est-il de la fonction inverse ? Diverge-t-elle ? Rappelons que la fonction inverse est la fonction :

Son graphe est le suivant.

Lorsque les se rapprochent de , les nombres ne se rapprochent certainement pas d’un nombre de manière uniforme et définitive. Mais ils ne deviennent pas non plus arbitrairement grands positivement de manière uniforme et définitive (ils le deviennt à droite de , mais pas à gauche ) et ils ne deviennent pas non plus arbitrairement grands négativement de manière uniforme et définitive (ils le deviennt à gauche de , mais pas à droite ). En conclusion, la fonction inverse n’a pas de limite en , mais ne diverge pas non plus en (que ce soit vers ou vers ).

Remarque 3.4.11. La fonction inverse ne diverge pas vers ou vers en , mais par contre son produit avec elle-même diverge vers en : voir exemple 3.4.4.

Exemple 3.4.12. La fonction dont le graphe est le suivant :

diverge vers en . On note : .

Exemple 3.4.13. La fonction dont le graphe est le suivant :

diverge vers en (même si la fonction est définie en de telle sorte que ). On note : .

Contre-exemple 3.4.14. La fonction dont le graphe est le suivant :

ne converge pas et ne diverge pas en .

Contre-exemple 3.4.15. La fonction dont le graphe est le suivant :

ne converge pas et ne diverge pas en .

À présent, exerçons-nous un peu.

Exercice 3.4.16. À l’aide d’un graphique, déterminer si les fonctions divergent au point considéré. Si oui, donner le type de divergence (vers ou vers ).

Exercice 3.4.17. Voici le graphe d’une fonction réelle . Déterminer l’ensemble des points où elle diverge.

Exercice 3.4.18. Tracer le graphe d’une fonction définie sur qui diverge vers en et qui ne diverge et ne converge pas en .

Solution.

Exercice 3.4.19. Déterminer si les fonctions dont les graphes sont donnés ci-dessous divergent aux points indiqués.

Solution.

La fonction ne diverge pas en . La fonction ne diverge pas en .

La fonction ne diverge pas en . La fonction ne diverge pas en . La fonction ne diverge pas en . .

Exercice 3.4.20 Tracer le graphe d’une fonction ayant les propriétés suivantes :

Solution.

Exercice 3.4.21 Tracer le graphe d’une fonction qui est continue partout sauf en et , qui a comme limite en et comme limite en , qui n’a pas de limite en , qui diverge vers en -3 et qui ne diverge pas en .

Solution.

Exercice 3.4.22 Déterminer si les fonctions convergent ou divergent au point considéré. Si elles convergent, donner la limite. Si elles divergent, donner le type de divergence (vers ou vers ).

3.5 Limites à gauche et limites à droite

Dans certains cas, il peut être intéressant d’étudier le comportement d’une fonction au fur et à mesure que l’on se rapproche d’un point où il est possible de parler de limite pour cette fonction mais en ne considérant que les points du graphe de la fonction dont les abscisses sont plus grandes ou plus petites que le point considéré.

Donnons immédiatement un exemple.

Exemple 3.5.1. La fonction dont le graphe est :

n’a pas de limite en . Lorsque les abscisses se rapprochent de , les points du graphe de ne se rapprochent pas définitivement et uniformément d’une seule valeur.

Par contre, si nous ne considérons que les points du graphe dont les abscisses sont supérieures à , la fonction réduite possède bien une limite en :

On a : . De même, si nous ne considérons que les points du graphe dont les abscisses sont inférieures à , la fonction réduite possède bien une limite en :

On a : .

Une autre façon d’exprimer ce que nous venons de dire est d’utiliser les notions de limite à gauche et de limite à droite. Lorsqu’on affirme que , cela signifie précisément que la fonction possède une limite à droite de 0 et que celle-ci vaut , ce qu’on note :

Lorsqu’on affirme que , cela signifie précisément que la fonction possède une limite à gauche de 0 et que celle-ci vaut , ce qu’on note :

Donnons à présent la définition générale de limite à droite et de limite à gauche : il s’agit simplement d’utiliser la définition de limite et de restriction de fonction.

Définition 3.5.2. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point . Soit .

On dit que a une limite à droite en si la fonction a comme limite en . On note :

On dit que a une limite à gauche en si la fonction a comme limite en . On note :

Remarque 3.5.3. Certaines personnes préfèrent utiliser les notations pour les limites à droite et pour les limites à gauche. Je vous déconseille d’utiliser ces notations.

Donnons quelques exemples et contre-exemples.

Exemple 3.5.4. La fonction dont le graphe est :

a une limite à droite en qui vaut : .

Par contre, elle n’a pas de limite à gauche en .

Exemple 3.5.5. La fonction carrée dont le graphe est :

a une limite à droite en qui vaut : .

Par ailleurs, a aussi une limite à gauche en qui vaut aussi : .

Contre-exemple 3.5.6. La fonction inverse dont le graphe est :

n’a pas de limite à droite en et n’a pas de limite à gauche en .

Dans tous les exemples déjà rencontrés, remarquons que le seul où la fonction admet une limite à droite et une limite à gauche au point considéré et que ces deux limites sont égales correspond au cas où la fonction admet une (véritable) limite en ce point, qui est d’ailleurs égale à l’unique valeur de la limite à droite et de la limite à gauche.

Ce n’est pas un hasard : pour avoir une limite en un point , une fonction doit se rapprocher de façon définitive et uniforme d’une unique valeur, elle doit donc avoir une limite à gauche en ce point et une limite à droite en ce point et celles-ci doivent être identiques. L’inverse est vrai aussi : si une fonction a une limite à gauche en un point et une limite à droite en et que celles-ci sont égales, alors se rapprochent bien définitivement et uniformément de cet unique nombre au fur et à mesure qu’on se rapproche de ! Plus rigoureusement, on peut démontrer :

Proposition 3.5.7. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point . Soit .

Alors possède une limite en si et seulement si possède une limite à droite en et une limite à gauche en et que celles-ci sont égales : .

Ce résultat est assez intuitif. Malheureusement, nous ne le démontrerons pas dans le cadre de ce cours.

Remarque 3.5.8. Certaines personnes aiment beaucoup les limites à droite et les limites à gauche, à tel point qu’elles définissent celles-ci en premier et les utilisent pour définir la notion de limite générale.

Pourtant, c’est bien la notion de limite qui est fondamentale, si utile et qui permet de démontrer d’impressionnants résultats mathématiques. De plus, les notions de limite à droite et limite à gauche ne se généralisent pas lorsqu’on ne peut pas parler de droite et de gauche tandis que la notion de limite plus gobale se généralise dans de nombreux contextes.

Pour ces raisons, nous n’insisterons volontairement pas sur les notions de limites à droite et de limite à gauche dans ce cours.

Avant de nous familiariser un peu avec ces nouvelles notions que sont les limites à droite et les limites à gauche, découvrons l’équivalent de ces notions pour la divergence. Commençons avec un exemple.

Exemple 3.5.9. Considérons la fonction inverse dont le graphe est :

Comme nous l’avons vu dans la section précédente, cette fonction ne diverge pas (que ce soit vers ou en ). Par contre, si nous ne considérons que les points de son domaine qui sont plus grands ou égaux à , on obtient la fonction dont le graphe est :

Cette fonction diverge bien vers en : .

De même, si nous ne considérons que les points du domaine de la fonction inverse qui sont plus petits ou égaux à , on obtient la fonction dont le graphe est :

Cette fonction diverge bien vers en : .

Comme avec les limites à droite et les limites à gauche, on peut exprimer ce que nous venons de dire avec les notions de divergence à droite et divergence à gauche . Pour cette exemple, on peut dire que la fonction inverse diverge vers à droite de , ce qu’on note et qu’elle diverge vers à gauche de , ce qu’on note .

Pour donner la définition générale de divergence à droite et de divergence à gauche, il suffit de combiner les notions de divergence générale avec celle de restriction.

Définition 3.5.10. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point . Soit .

On dit que diverge vers :math:`+infty` à droite en si la fonction diverge vers en . On note :

On dit que diverge vers :math:`-infty` à droite en si la fonction diverge vers en . On note :

On dit que a diverge vers :math:`+infty` à gauche en si la fonction diverge vers en . On note :

On dit que a diverge vers :math:`-infty` à gauche en si la fonction diverge vers en . On note :

On a un résultat équivalent pour les divergence à gauche et à droite à celui qu’on avait pour les limites :

Proposition 3.5.11. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point . Soit .

Alors diverge vers en si et seulement si diverge vers à droite en et diverge vers à gauche en .

De plus, diverge vers en si et seulement si diverge vers à droite en et diverge vers à gauche en .

Une fois de plus, nous ne pourrons malheureusement pas démontrer cette proposition dans le cadre de ce cours.

Avant de passer aux exercices, quelques exemples et contre-exemples.

Exemple 3.5.12. La fonction dont le graphe est :

diverge vers à droite en et diverge vers à gauche en . Elle diverge vers en .

Exemple 3.5.13. La fonction dont le graphe est :

diverge vers à gauche en . Elle ne diverge pas à droite en .

Exemple 3.5.14. La fonction carrée dont le graphe est :

ne diverge ni à gauche ni à droite en .

Exercice 3.5.15. Pour la fonction dont le graphe est ci-dessous, quels sont les points où la fonction a une limite à gauche ou à droite mais n’a pas de limite ? Quels sont les points où la fonction diverge à gauche ou à droite mais ne diverge pas ? Pour tous ces points, donner les limites ou les divergences à gauche ou à droite éventuelles.

Solution. Le seul point où la fonction n’a pas de limite ou ne diverge pas est . La fonction a une limite à gauche en qui vaut et diverge vers à droite en .

Exercice 3.5.16. Tracer le graphe d’une fonction ayant les propriétés suivantes :

Solution.

Exemple 3.5.17. Déterminer quelles sont les limites et les divergence à gauche et à droite.

Exercice 3.5.18. Tracer le graphe d’une fonction qui est continue partout sauf en et , qui vaut en , en et en , qui a comme limite à gauche en et comme limite à droite en , qui a comme limite à gauche en et qui diverge vers à droite en , qui diverge vers à gauche en et qui diverge vers à droite en .

Solution.

Exercice 3.5.19. Déterminer si les fonctions convergent ou divergent à droite ou à gauche au point considéré. Si elles convergent à droite ou à gauche, donner la limite à droite ou à gauche. Si elles divergent à droite ou à gauche, donner le type de divergence (vers ou vers ). N’hésitez pas à vous aider d’un graphe.

3.6 Limites et divergence de fonctions en et

Jusqu’à présent, nous avons toujours parlé de limite ou de divergence d’une fonction en un point . Mais l’idée de limite (et de divergence) peut également être déclinée pour parler du comportement asymptotique d’une fonction, c’est-à-dire du comportement des nombres pour des valeurs de l’argument qui deviennt de plus en plus grandes ou de plus en plus petites (grandes négativement).

En fait, si nous avions introduit les limites et les divergences à l’aide des suites et non des fonctions continues, nous aurions commencé par ce type de limite et de divergence. L’idée fondamentale est la même que pour la limite d’une fonction en un point et est au moins aussi importante et utile.

Une fois de plus, introduisons nos nouveaux concepts avec un exemple.

Exemple 3.6.1. Nous souhaiterions pouvoir parler du comportement asymptotique de la fonction inverse, dont le graphe est pour rappel le suivant.

Nous aimerions savoir ce que deviennent les nombres au fur et à mesure que nous considérons des de plus en plus grands. Voyons d’abord ce que vaut pour certaines valeurs de particulières qui sont de plus en plus grandes :

Plus généralement, si nous divisons par des nombres positifs arbitrairement grands, le résultat sera un nombre positif arbitrairement proche de . Au fur à mesure que les abscisses des points du graphes grandissent, les ordonnées associées se rapprochent uniformément et définitivement de . Nous retrouvons l’idée de limite : la nouveauté étant que nous observons le comportement de la fonction non pas à l’approche d’un point, mais son comportement pour des nombres de plus en plus grands.

Pour cet exemple, on dit que la fonction inverse a pour limite quand tend vers . On note :

Nous pouvons également étudier le comportement de la fonction inverse pour des nombres de plus en plus petits ! Commençons avec des valeurs particulières pour qui sont de plus en plus petites :

Plus généralement, si nous divisons par des nombres négatifs arbitrairement petits, le résultat sera un nombre négatif arbitrairement proche de . Au fur à mesure que les abscisses des points du graphes diminuent, les ordonnées associées se rapprochent uniformément et définitivement de . Nous retrouvons une fois de plus l’idée de limite : la nouveauté étant que nous observons le comportement de la fonction non pas à l’approche d’un point, mais son comportement pour des nombres de plus en plus petits.

Pour cet exemple, on dit que la fonction inverse a pour limite quand tend vers . On note :

Remarque 3.6.2. Il se trouve que la fonction inverse a la même limite pour tendant vers et pour tendant vers . Ce n’est bien évidemment pas toujours le cas. Par exemple, la fonction dont le graphe est ci-dessous a comme limite pour tendant vers et pour tendant vers .

Donnons les définitions de limite d’une fonction pour qui tend vers ou vers . Celle-ci est très similaire à la définition de limite d’une fonction en un point et est construite de la même manière.

Définition 3.6.3. Soit un intervalle non majoré. Soit .

On dit que a une limite pour qui tend vers si pour toute marge d’erreur , il existe tel que pour tout qui est plus grand ou égal à , c’est-à-dire tel que , on a nécessairement que est à une distance plus petite ou égale de que , c’est-à-dire qu’on a . Dans ce cas, on note :

Définition 3.6.4. Soit un intervalle non minoré. Soit .

On dit que a une limite pour qui tend vers si pour toute marge d’erreur , il existe tel que pour tout qui est plus petit ou égal à , c’est-à-dire tel que , on a nécessairement que est à une distance plus petite ou égale de que , c’est-à-dire qu’on a . Dans ce cas, on note :

Donnons quelques exemples et contre-exemples.

Exemple 3.6.5. La fonction dont le graphe est donné ci-dessous a comme limite pour qui tend vers .

Pour cette fonction, il ne fait pas sens de parler d’une éventuelle limite pour qui tend vers puisque son domaine de définition est .

Exemple 3.6.6. La fonction dont le graphe est donné ci-dessous a comme limite pour qui tend vers et pour qui tend vers .

Contre-exemple 3.6.7. La fonction dont le graphe est donné ci-dessous n’a pas de limite pour qui tend vers et n’a pas de limite pour qui tend vers .

Note : le graphe de cette fonction se répète : on dit qu’elle est périodique.

En effet, peu importe si on considère des nombres de plus en plus grands ou de plus en plus petits, les nombres associées ne finiront jamais par se rapprocher de manière uniforme et définitive d’une valeur unique. Ils continueront d’osciller autour de encore et encore.

Contre-exemple 3.6.8. La fonction dont le graphe est donné ci-dessous n’a pas de limite pour qui tend vers mais a comme limite pour qui tend vers .

De la même manière qu’on peut parler d’une limite d’une fonction pour qui tend vers ou pour qui tend vers , on peut parler de la divergence vers ou vers pour qui tend vers ou pour qui tend vers . Une fois de plus, introduisons cette nouvelle notion avec un exemple.

Exemple 3.6.9. Nous souhaiterions pouvoir parler du comportement asymptotique de la fonction cubique, dont le graphe est pour rappel le suivant.

Nous aimerions savoir ce que deviennent les nombres au fur et à mesure que nous considérons des de plus en plus grands. Voyons d’abord ce que vaut pour certaines valeurs de particulières qui sont de plus en plus grandes :

Plus généralement, si nous prenons le cube de nombres positifs arbitrairement grands, le résultat sera un nombre positif arbitrairement grand. Au fur à mesure que les abscisses des points du graphes grandissent, les ordonnées deviennent uniformément et définitivement aussi grandes que l’on veut. Nous retrouvons l’idée de divergence : la nouveauté étant que nous observons le comportement de la fonction non pas à l’approche d’un point, mais son comportement pour des nombres de plus en plus grands.

Pour cet exemple, on dit que la fonction cubique diverge vers quand tend vers . On note :

Nous pouvons également étudier le comportement de la fonction cubique pour des nombres de plus en plus petits ! Commençons avec des valeurs particulières pour qui sont de plus en plus petites :

Plus généralement, si nous prenons le cube de nombres négatifs arbitrairement petits, le résultat sera un nombre négatif arbitrairement petit. Au fur à mesure que les abscisses des points du graphes diminuent, les ordonnées associées deviennent uniformément et définitivement aussi petites que l’on veut. Nous retrouvons une fois de plus l’idée de divergence : la nouveauté étant que nous observons le comportement de la fonction non pas à l’approche d’un point, mais son comportement pour des nombres de plus en plus petits.

Pour cet exemple, on dit que la fonction cubique diverge vers quand tend vers . On note :

Donnons les définitions de divergence vers ou vers d’une fonction pour qui tend vers ou vers . Celle-ci est très similaire à la définition de divergence d’une fonction en un point et est construite de la même manière.

Définition 3.6.10. Soit un intervalle non majoré. Soit .

On dit que a diverge vers pour qui tend vers si pour toute borne supérieure , il existe tel que pour tout qui est plus grand ou égal à , c’est-à-dire tel que , on a nécessairement que est plus grand ou égal à , c’est-à-dire qu’on a . Dans ce cas, on note :

Définition 3.6.11. Soit un intervalle non majoré. Soit .

On dit que a diverge vers pour qui tend vers si pour toute borne inférieure , il existe tel que pour tout qui est plus grand ou égal à , c’est-à-dire tel que , on a nécessairement que est plus petit ou égal à , c’est-à-dire qu’on a . Dans ce cas, on note :

Définition 3.6.12. Soit un intervalle non minoré. Soit .

On dit que a diverge vers pour qui tend vers si pour toute borne supérieure , il existe tel que pour tout qui est plus petit ou égal à , c’est-à-dire tel que , on a nécessairement que est plus grand ou égal à , c’est-à-dire qu’on a . Dans ce cas, on note :

Définition 3.6.13. Soit un intervalle non majoré. Soit .

On dit que a diverge vers pour qui tend vers si pour toute borne inférieure , il existe tel que pour tout qui est plus grand ou égal à , c’est-à-dire tel que , on a nécessairement que est plus petit ou égal à , c’est-à-dire qu’on a . Dans ce cas, on note :

Donnons quelques exemples et contre-exemples.

Exemple 3.6.14. La fonction valeur absolue diverge vers pour qui tend vers et diverge ves pour qui tend vers .

Exemple 3.6.15. La fonction racine carrée diverge vers pour qui tend vers . Il ne fait pas sens de parler d’une limite ou de divergence pour qui tend vers pour la racine carrée puisqu’elle n’est pas définie sur l’ensemble des réels strictement négatifs.

Exemple 3.6.16. La fonction dont le graphe est donné ci-dessous diverge vers pour qui tend vers et diverge vers pour qui tend vers .

Contre-exemple 3.6.17. La fonction dont le graphe est donné ci-dessous ne diverge pas pour qui tend vers et ne diverge pas pour qui tend vers .

Contre-exemple 3.6.18. La fonction dont le graphe est donné ci-dessous diverge vers pour qui tend vers mais ne diverge pas pour qui tend vers .

Remarque 3.6.19. Il existe une quantité non négligeable de résultats intéressants portant sur les limites et les divergences de fonctions pour qui tend vers ou vers . Néanmoins, dans ce cours, nous nous contenterons d’utiliser ces notions comme des outils qui permettent de décrire le comportement asymptotique d’une fonction.

Passons aux exercices.

Exercice 3.6.20. (Exercice théorique un peu difficile.)

Les définitions 3.6.3 et 3.6.4 sont très similaires. Identifier la seule petite différence et expliquer celle-ci.

Exercice 3.6.21. Tracer le graphe d’une fonction ayant les propriétés suivantes :

Solution.

Exercice 3.6.22. Déterminer si les fonctions dont les graphes sont donnés ci-dessous ont une limite ou divergent pour qui tend vers ou .

Exercice 3.6.23. Déterminer si les fonctions convergent ou divergent pour qui tend vers ou pour qui tend vers . Si elles convergent, donner la limite. Si elles divergent, donner le type de divergence (vers ou vers ). N’hésitez pas à vous aider d’un graphe.

Exercice 3.6.24. Un homme souhaite changer la teneur en sel de son aquarium pour y accueillir de nouveaux poissons. Alors que son aquarium contient initialement 3 litres d’eau douce, il commence à remplir l’aquarium avec à la fois de l’eau douce et de l’eau salée (avec deux pompes différentes). La pompe d’eau douce a un débit d’un centilitre par seconde, tandis que la pompe d’eau salée a un débit de deux centilitres par seconde.

1. Quel est le rapport de la quantité d’eau douce et de la quantité d’eau salée après une minute de remplissage ?

2. Quel est le rapport de la quantité d’eau douce et de la quantité d’eau salée après secondes de remplissage ? ( étant un nombre réel strictement positif quelconque.)

3. Au fur et à mesure que le temps passe, de quoi se rapproche le rapport de la quantité d’eau douce et de la quantité d’eau salée ?

Exercice 3.6.25. Un avion a une panne de moteur en plein vol à une altitude de km et menace de s’écraser. Le pilote va essayer de faire planer l’avion jusqu’au prochain aréoport, mais il craint que l’avion perde trop d’altitude en planant.

Il se souvient de ses cours d’aviation que dans ce genre de situation, l’avion perd d’abord rapidement beaucoup d’altitude mais se stabilise peu à peu. Il se souvient que dans ce genre de situation, l’altitude de l’avion après heures est de où est l’altitude initiale de l’avion.

De quelle altitude se rapproche de l’avion au fur et à mesure que le temps passe ? Risque-t-il de s’écraser ?

3.7 Asymptotes

Il existe une autre manière d’interpréter et de visualiser certaines limites. Ce point de vue plus géométrique des limites que sont les asymptotes plaît énormément à certains mais n’apporte rien de fondamental à l’idée de limite. Passons rapidement en revue les deux types les plus simples d’asymptotes : les asymptotes horizontales et les asymptotes verticales.

Une fois de plus, commençons avec un exemple.

Exemple 3.7.1. Voici ci-dessous le graphe de la fonction :

Les limites et les divergences intéressantes pour cette fonction sont :

Rappelons-nous ce que signifie en français la première de ces quatre affirmations : au fur et à mesure que devient grand, les nombres associées se rapprochent uniformément et définitivement de . Une autre façon d’exprimer cela, plus géométrique, est de dire que plus on considère des points du graphe de la fonction dont les abscisses sont grandes, plus le graphe de se rapproche uniformément et définitivement de la droite d’équation :

Cette droite est ce qu’on appelle une asymptote (horizontale) de la fonction . Son sens est exactement celui encodé par la limite .

Remarquons que la limite peut également être interprétée géométriquement avec une asymptote horizontale : plus on considère des points du graphe de la fonction dont les abscisses sont petites, plus le graphe de se rapproche uniformément et définitivement de la droite d’équation également.

Par contre, si on souhaite interpréter les deux affirmations et de façon plus géométrique, il faut recourir à la notion d’asymptote verticale. Pour cet exemple, on dira que la focntion a une asymptote verticale d’équation cartésienne :

Plus on on considère des points du graphe de dont les abscisses sont proches de , plus le graphe de se rapproche uniformément et définitivement de cette droite. Le sens de cette asymptote verticale est exactement celui des deux divergences et .

Les asymptotes horizontales sont donc juste une manière plus géométrique d’exprimer des limites pour qui tend vers ou de fonctions et les asymptotes verticales sont juste une manière plus géométrique d’exprimer des divergences en un point de fonctions. Donnons les définitions précises de ces deux nouvelles notions.

Définition 3.7.2. Soit un intervalle non majoré. Soit .

Si , on dit que a une asymptote horizontale (à droite) d’équation cartésienne et on note :

Définition 3.7.3. Soit un intervalle non minoré. Soit .

Si , on dit que a une asymptote horizontale (à gauche) d’équation cartésienne et on note :

Définition 3.7.4. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point . Soit .

Si ou , on dit que a une asymptote verticale (à droite) d’équation cartésienne et on note :

Définition 3.7.5. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point . Soit .

Si ou , on dit que a une asymptote verticale (à gauche) d’équation cartésienne et on note :

Remarque 3.7.6. Il existe encore au moins un autre type d’asymptote : les asymptotes obliques. Nous n’en parlerons pas dans ce cours.

Puisque les asymptotes ne sont qu’une réinterprétation géométrique de certaines limites, il n’y a pas grand chose d’autre à dire à leur sujet. Passons donc immédiatement aux exercices.

Exercice 3.7.7. Pour les fonctions dont les graphes sont donnés ci-dessous, lister toutes les asymptotes horizontales et verticales et donner leurs équations cartésiennes.

Exercice 3.7.8. Donner le graphe d’une fonction qui possède deux asymptotes horizontales (différentes), deux asymptotes verticales dont une des deux a pour équation cartésienne . Donner les équations cartésiennes de toutes les asympotes horizontales et verticales de la fonction choisie.

Solution.

Exercice 3.7.9. Pour les fonctions suivantes, déterminer les équations cartésiennes de toutes les asymptotes horizontales et verticales.

3.8 Propriétés des limites de fonctions

Dans cette dernière section de ce long chapitre sur les limites, nous allons apprendre à calculer des limites de fonctions de façon efficace, sans avoir recours à des graphes ou des tableaux de nombres. Pour ce faire, nous allons réfléchir à la façon dont se combinent les limites. Nous allons voir que pour calculer une limite, une stratégie extrêmement puissante est de décomposer la fonction dont on veut calculer la limite en terme de fonctions plus simples pour lesquelles le calcul des limites est immédiat.

Comme pour chacune des cinq dernières sections de ce chapitre, commençons avec un exemple.

Exemple 3.8.1. À ce stade, nous savons déjà que la fonction inverse converge vers pour qui tend vers :

De même, nous savons que la fonction constante de constante converge vers :

Question : à partir de ces deux informations, pouvons-nous affirmer quelque chose au sujet du comportement asymptotique (pour qui tend vers ) de la fonction obtenue en additionnant ces deux premières fonctions :

Bien entendu, calculer directement la limite pour qui tend vers de cette fonction n’est pas difficile :

Mais aurions-nous pu trouver ce résultat sans même réfléchir au comportement asymptotique de la fonction ? Pour répondre à cette question, rappelons ce que signifient les deux affirmations :

La première signifie que pour des nombres de plus en plus grands, les nombres se rapprochent uniformément et définitivement de . La deuxième signifie que pour des nombres de plus en plus grands, les nombres se rapprochent uniformément et définitivement de . On déduit directement de ces deux informations que pour des nombres de plus en plus grands, les nombres se rapprochent uniformément et définitivement de . Autrement dit :

La limite pour qui tend vers de la fonction qui est définie comme la somme de la fonction inverse et de la fonction constante de constante est égale à la somme des limites pour qui tend vers de ces deux fonctions. On a pu décomposer le calcul de la limite pour qui tend vers de la fonction en une somme de limites plus simples à calculer.

L’idée que nous avons mise en œuvre dans l’exemple 3.8.1, c’est-à-dire calculer la limite d’une fonction en décomposant celle-ci, est extrêmement utile et générale et permet de calculer des limites efficacement sans avoir à construire sans cesse des tableaux de signes ou des graphes de fonctions. Cette idée se base sur les propriétés des limites que nous allons lister dans cette section qui explicitent la manière dont se combinent les limites (et les divergences).

Il est très important de faire l’effort de comprendre cette idée pour être à même de l’appliquer. Je vous déconseille vivement d’apprendre par cœur toutes les propositions que nous allons donner dans cette section. Appliquer ces dernières mécaniquement sera non seulement pénible mais surtout difficile et peu enrichissant.

Pour cette raison, nous allons essayer d’expliquer le plus en détail la toute première. Cette première proposition de cette section s’intéresse à ce qu’il se passe lorsqu’on additionne deux fonctions qui chacune ont une limite en un point .

Proposition 3.8.2. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point .

Soient et telles que et . Alors la fonction a une limite en et on a :

Nous ne démontrerons malheureusement pas cette proposition et il en sera de même pour toutes les autres propositions de cette section. Néanmoins, essayons de la comprendre : elle exprime en fait un résultat assez intuitif.

Pour partir d’une situation concrète : supposons que je suis dans un train et que je me rapproche peu à peu de l’arrière du train de sorte que j’arrive au bout à 9h00 précise. Supposons également que le train lui-même se rapproche de la gare de Louvain-la-Neuve de sorte qu’il arrivera à destination à 9h00 précise. Pour un observateur sur le quai, au fur et à mesure que l’aiguille de l’horloge se rapproche de 9h00 pile, de quelle position me rapprocherai-je ? Puisque je me rapproche du bout arrière du train et que le train se rapproche du quai de la gare, je me rapproche de la position de laquelle se rapproche le bout arrière du train pour un observateur sur le quai. Les deux mouvements s’additionnent et il en va donc de même pour les positions dont ces deux mouvements se rapprochent.

La proposition ci-dessus porte sur la même idée mais de manière abstraitre. Essayons de comprendre sa généralité avec un exemple formel. Supposons que je possède deux fonctions et dont les graphes sont les suivants :

Ces deux fonctions ont toutes les deux une limite en :

Que se passe-t-il si nous nous créons une nouvelle fonction en additionnant et : .

La fonction a également une limite en et cette limite est la somme des limites en des fonctions et : .

Logique : puisque la fonction se rapproche uniformément et définitivement de à l’approche de et que la fonction se rapproche uniformément et définitivement de à l’approche de , la fonction qui est la somme de ces deux fonctions se rapproche uniformément et définitivement de à l’approche de . Cette remarque n’est évidemment pas propre à notre exemple : il en aurait été de même pour d’autres fonctions et . C’est ce qui est exactement exprimé par la proposition 3.8.2.

La proposition 3.8.2 permet de calculer des limites de façon efficace en décomposant la fonction dont on veut calculer la limite en fonctions plus simples dont elle est la somme. Donnons immédiatement un exemple d’application de cette proposition.

Exemple 3.8.3. Supposons que l’on souhaite déterminer si la fonction suivante possède une limite en .

On remarque que la fonction est la somme des trois fonctions :

De plus, on sait facilement calculer les limites en de ces trois fonctions :

Par la proposition 3.8.2, a donc nécessairement une limite en et cette limite est égale à :

La proposition 3.8.2 décrit ce qu’il se passe lorsqu’on additionne deux fonctions qui possèdent une limite en un point. Il existe bien évidemment d’autres opérations sur les fonctions et d’autres possibilités pour une fonction que d’avoir une limite en un point (elle peut par exemple diverger). Dans les pages suivantes, nous allons donner toutes les variantes possibles de la proposition 3.8.2. Insistons sur un point : n’apprennez pas toutes ces propositions par cœur ! Comprenez-les de sorte que vous puissiez les retrouver par vous-mêmes.

Proposition 3.8.4. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point .

Soient et telles que et . Alors la fonction a une limite en et on a :

Proposition 3.8.5. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point .

Soient et telles que et . Alors la fonction a une limite en et on a :

Proposition 3.8.6. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point

. Soient et avec pour tout telles que et avec . Alors la fonction a une limite en et on a :

Proposition 3.8.7. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point et soit un intervalle éventuellement privé d’un point .

Soient et telles que , et . Alors la fonction a une limite en et on a :

Passons aux cas où la fonction diverge vers .

Proposition 3.8.8. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point .

Soient et telles que et . Alors la fonction diverge en et on a :

Proposition 3.8.9. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point .

Soient et telles que et . Alors la fonction diverge en et on a :

Proposition 3.8.10. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point .

Soient et telles que avec et . Alors la fonction diverge en et on a :

• Si :

  

• Si :

  

Proposition 3.8.11. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point .

Soient et avec pour tout telles que et . Alors la fonction a une limite en et on a :

Proposition 3.8.12. Soit un intervalle non majoré et soit un intervalle éventuellement privé d’un point .

Soient et telles que , et . Alors la fonction a une limite en et on a :

Les cas où la fonction diverge vers sont très similaires aux cinq précédents et nous ne les listerons pas ici. Passons aux cas où la fonction diverge vers mais où la fonction converge.

Proposition 3.8.13. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point .

Soient et telles que et . Alors la fonction diverge en et on a :

Proposition 3.8.14. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point .

Soient et telles que et . Alors la fonction diverge en et on a :

Proposition 3.8.15. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point .

Soient et telles que avec et . Alors la fonction diverge en et on a :

• Si :

  

• Si :

  

Proposition 3.8.16. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point .

Soient et avec pour tout telles que et . Alors la fonction diverge en et on a :

• Si :

  

• Si :

  

Proposition 3.8.17. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point et soit un intervalle éventuellement privé d’un point .

Soient et telles que , et . Alors la fonction diverge en et on a :

À nouveau, les cas où la fonction diverge vers sont très similaires aux cinq précédents et nous ne les listerons pas ici. Passons aux cas où la fonction diverge vers et où la fonction diverge vers .

Proposition 3.8.18. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point .

Soient et telles que et . Alors la fonction diverge en et on a :

Proposition 3.8.19. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point .

Soient et telles que avec et . Alors la fonction diverge en et on a :

Proposition 3.8.20. Soit un intervalle non majoré et soit un intervalle éventuellement privé d’un point .

Soient et telles que , et . Alors la fonction diverge en et on a :

Les cas où la fonction ou la fonction diverge vers plutôt que vers sont très similaires aux cinq derniers et nous ne les listerons pas ici. Tous les cas où on ne considère pas une limite ou une divergence en un point mais pour qui tend vers ou vers sont semblables à ceux que nous avons déjà listés, nous ne les listerons donc pas ici.

Remarque 3.8.21. Il peut sembler que certaines propositions sont manquantes. Par exemples, quid de la différence de deux fonctions qui divergent vers en un point ? Une personne peu rigoureuse pourrait écrire que :

Outre le fait que cela n’a aucun sens, cela est absolument faux ! Je vous interdis de noter de telles horreurs dans le cadre de ce cours.

Ce type de situation est appelé par certaines personnes indétermination . Une indétermination est en fait une situation où on ne peut pas simplement appliquer une des propositions listées ci-dessus pour décomposer une limite ou une divergence que l’on cherche à calculer. Il faut dans ces cas-là ruser, simplifier l’expression de la fonction considérée ou même être imaginatif ! Toutes sortes de choses peuvent arriver !

Illustrons cette dernière affirmation. Commençons par donner un exemple de deux fonctions qui divergent vers en un point mais dont la différence ne converge pas vers , elle diverge vers .

Considérons les deux fonctions :

On a :

Pour tout , on a :

La fonction peut être vue comme le produit des deux fonctions :

On a :

Par la proposition 3.8.10, on en déduit que :

À présent, donnons un exemple de deux fonctions qui divergent vers en un point mais dont la différence diverge vers . Considérons les deux fonctions :

On a :

Pour tout , on a :

La fonction peut être vue comme le produit des deux fonctions :

On a :

Par la proposition 3.8.10, on en déduit que :

Enfin, la différence de deux fonctions qui divergent vers en un point peut malgré tout parfois converger (vers ou un autre nombre). Considérons par exemple les deux fonctions :

On a :

Pour tout , on a :

On en déduit :

Comme on peut le voir avec ces trois exemples, lorsqu’on est face à une indétermination, il n’y a pas d’autre choix que de se mettre à réfléchir. Il n’y a pas de loi générale.

Avant de passer aux exercices, donnons une règle de calcul que certains apprécient énormément : la règle des plus grands exposants. Elle permet de calculer facilement une limite pour qui tend vers (ou vers ) dans le cas d’une fonction rationnelle (quotient de deux polynômes).

Théorème 3.8.22. (Théorème de la règle des plus hautes puissances)

Soit un intervalle non majoré.

Soient et avec pour tout telles que pour tout :

pour un certain , un certain et avec et avec . Alors :

• Si ,

  on a :

  

• Si ,

  on a :

  

• Si

  pour un certain , on a :

Démonstration Pour tout avec , on a :

Par les propriétés des limites, on a :

De même :

Par les propriétés des limites, on a donc :

Dès lors :

• Si , par les propriétés des limites et des divergences, on a :

  

• Si , par les propriétés des limites et des divergences, on a :

  

• Si pour un certain , par les propriétés des limites, on a :

  

Remarque 3.8.23. Le théorème est également valable lorsqu’on considère une limite pour qui tend vers .

Exemple 3.8.24. On souhaite déterminer la limite suivante :

Le théorème de la règle des plus hautes puissances nous dit que si la limite ci-dessous existe, alors la limite que nous recherchons existe aussi et est égale à celle-ci :

Or :

Conclusion, par le théorème de la règle des plus hautes puissances, on déduit que :

Et maintenant, des exercices. Beaucoup d’exercices !

Exercice 3.8.25. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point . Soient et telles que et .

Que peut-on dire au sujet du comportement de la fonction au voisinage de ? Converge-t-elle ? Diverge-t-elle ? Expliquer.

Solution. Puisque , pour des nombres de plus en plus proches de , les nombres deviennent uniformément et définitivement arbitrairement grands. Puisque , pour des nombres de plus en plus proches de , les nombres deviennent uniformément et définitivement arbitrairement petits. Dès lors, pour des nombres de plus en plus proches de , les nombres deviennent uniformément et définitivement arbitrairement petits (le produit de nombres de plus en plus grands par des nombres petits est de plus en plus petit).

Exercice 3.8.26. Soit un intervalle non minoré. Soient et avec pour tout telles que pour un certain et .

Que peut-on dire au sujet du comportement de la fonction pour qui tend vers ? Converge-t-elle ? Diverge-t-elle ? Expliquer.

Solution. Puisque , pour des nombres de plus en plus petits, les nombres se rapprochent uniformément et définitivement de . Puisque , pour des nombres de plus en plus petits, les nombres deviennent uniformément et définitivement arbitrairement petits. Dès lors, pour des nombres de plus en plus petits, les nombres se rapprochent uniformément et définitivement de (le quotient de nombres de plus en plus proche d’un nombre divisés par des nombres de plus en plus petits est de plus en plus proche de ).

Exercice 3.8.27. Soit un intervalle non majoré. Soient et avec pour tout telles que et .

Que peut-on dire au sujet du comportement de la fonction pour qui tend vers ? Converge-t-elle ? Diverge-t-elle ? Expliquer.

Solution. Puisque , pour des nombres de plus en plus grands, les nombres deviennent uniformément et définitivement arbitrairement petits. Puisque , pour des nombres de plus en plus grands, les nombres deviennent uniformément et définitivement arbitrairement grands. Dès lors, pour des nombres de plus en plus petits, les nombres deviennent uniformément et définitivement arbitrairement petits (des nombres de plus en plus petits auquels on enlève des nombres de plus en plus grands donnent de plus en plus petits).

Exercice 3.8.28. En utilisant les propriétés des limites et des divergences, déterminer les limites ou les divergences suivantes.