Cours de mathématiques de sixième année 4 périodes/semaine Année 2018-2019

Lycée Martin V

Les fonctions exponentielles et logarithmes sont très utiles dans de nombreux contextes. Qu’on parle de radioactivité, de séisme, de démographie, d’acidité d’une solution ou encore d’intensité du son, elles constituent un outil essentiel pour étudier de nombreux phénomènes.

Par ailleurs, ces fonctions ont également un intérêt mathématique intrinsèque remarquable, en particulier la fonction exponentielle de base et le logarithme népérien. Nous découvrirons pourquoi ainsi que l’identité de ce nombre qui possède un statut semblable à celui de dans les mathématiques modernes.

Après avoir donné une courte introduction où seront présentées cinq raisons différentes d’explorer ce nouveau chapitre, nous allons découvrir la notion de fonction exponentielle en généralisant les exposants que nous connaissons déjà : les exposants rationnels. Nous définirons ensuite les fonctions logarithmes comme les fonctions réciproques des fonctions exponentielles. Enfin, nous apprendrons à exploiter ces nouveaux outils et nous reviendrons sur l’introduction.

Pour ce chapitre, les prérequis sont les suivants :

• Puissances/exposants naturels, entiers et rationnels

• Fonctions

• Limites et continuité de fonctions

• Dérivées

• Intégrales

1 Introduction

1.1 Des exposants irrationnels ?

À ce stade, vous êtes déjà familier avec les exposants naturels (non-nuls). Par exemple, vous savez certainement quel est le sens de la notation : il s’agit du nombre .

Vous êtes également déjà familier avec les exposants entiers et en particulier les exposants négatifs. Par exemple, vous savez certainement quel est le sens de la notation : il s’agit du nombre .

Idéalement, vous êtes aussi familier avec les exposants rationnels. Par exemple, vous devriez savoir quel est le sens de la notation : il s’agit du nombre .

Quid des exposants irrationnels ? Par exemple, la notation suivante a-t-elle un sens ?

A priori, non. Non seulement n’est pas un nombre rationnel, mais on voit mal comment on pourrait étendre le sens donné aux exposants (initialement) pour un exposant tel que :

Pourtant, si on entre dans une calculatrice, elle retourne une approximation de ce nombre :

Il doit donc sans doute être possible d’accorder à cette notation un sens univoque et de calculer ce nombre (ou au moins une approximation de ce nombre).

Dans ce chapitre, nous allons découvrir le sens que l’on peut attribuer aux exposants irrationnels et nous essayerons de comprendre comment une calculatrice peut nous retourner une telle valeur.

1.2 Des équations irrésolubles ?

Si on vous demande de trouver un nombre tel que , vous répondrez sans aucune difficulté que est solution car .

De même, si on vous demande de trouver un nombre tel que , vous répondrez sans aucune difficulté que est solution car .

À nouveau, si on vous demande de trouver un nombre tel que , vous répondrez sans grande difficulté que est solution car .

De manière générale, si le nombre d’une équation peut être exprimé comme une puissance entière de , il est facile de trouver une solution.

Mais que se passe-t-il si le nombre ne peut pas être exprimé comme une puissance entière de ? Par exemple, comment trouver un nombre tel que :

Si un tel nombre existe (ce qui n’est a priori même pas certain), il s’agit sans doute d’un nombre entre et (puisque et ) et sans doute un peu plus proche de que de . Mais cela ne nous avance pas beaucoup…

Dans ce chapitre, nous allons voir qu’un tel nombre existe bel et bien et nous découvrirons les outils qui permettent de l’exprimer et de résoudre une telle équation. Nous verrons que ce type d’équation peut apparaître dans plusieurs contextes, dont un que vous avez normalement déjà rencontré l’année passé : les intérêts composés.

1.3 Une primitive de la fonction inverse ?

Dans le chapitre des intégrales, nous nous sommes étonnés du fait que la fonction inverse était l’unique fonction de référence pour laquelle nous n’étions pas capable de trouver une primitive.

Néanmoins, puisque la fonction inverse est continue, le premier théorème fondamental de l’analyse nous garantit son existence, au moins sur un intervalle compact.

Dans ce chapitre, nous allons découvrir cette primitive et nous verrons qu’il s’agit d’une fonction extrêmement importante qui a bien d’autres propriétés essentielles que celle d’être une primitive de la fonction inverse.

1.4 Une fonction qui est sa propre dérivée/primitive ?

Dans le cadre du chapitre des intégrales, une question qui peut survenir assez naturellement est celle de l’existence d’une fonction qui est sa propre dérivée ou (de façon équivalente) sa propre primitive.

Dans ce chapitre, nous allons découvrir une telle fonction et nous verrons qu’elle est unique ! De plus, nous apprendrons qu’il s’agit d’une fonction extrêmement importante, voire fondamentale. Nous verrons qu’elle possède de nombreuses propriétés très intéressantes et qu’elle est extrêmement liée à la fameuse primitive de la fonction inverse dont nous parlions dans la sous-section précédente.

1.5 Des échelles logarithmiques ?

Certaines unités de mesure peuvent être troublantes pour ceux qui ne les comprennent pas. Un tremblement de terre d’une magnitude de (un cataclysme historique, seulement 5 tremblements de terre de cette ampleur ont été recencés dans le monde depuis 1900) n’est certainement pas seulement fois plus intense et destructeur qu’un tremblement de terre d’une magnitude de (en moyenne, il y a plus d’un tremblement de terre de ce type en Belgique par an et la plupart des gens l’ignorent). Un son d’une intensité de décibels (ce qui correspond environ à l’intensité du son d’une vuvuzela proche) n’est certainement pas seulement fois plus fort qu’un son de décibels (ce qui correspond environ à l’intensité du son lors d’une discussion normale avec une personne proche). Une solution dont le pH est de (plus ou moins l’acidité de l’acide gastrique) n’est certainement pas seulement fois plus acide qu’une solution dont le pH est de (plus ou moins l’acidité d’un vin).

Il se trouve que toutes ces unités cachent en fait une échelle logarithmique. Pour comprendre ces échelles et ces unités, il est essentiel de comprendre la notion à partir de laquelle elles sont construites : les fonctions logarithmes.

Dans ce chapitre, nous allons non seulement découvrir ces fonctions logarithmes, mais nous intéresserons également dans la dernière section du chapitre à la façon dont elles permettent de parler d’échelles logarithmiques.