Cours de mathématiques de cinquième année 4 périodes/semaine

Fonctions continues et limites de fonctions

Lycée Martin V

1 Introduction

Ce chapitre est probablement le plus difficile de ce cours, au moins sur le plan conceptuel. Nous allons y introduire la notion de fonction continue, mais surtout de limite (de fonction). Cette notion de limite et les idées sous-jacentes à sa définition sont les idées fondamentales qui ont mené à la naissance de l’analyse mathématique moderne. Leur portée est immense et de nombreux futurs chapitres du cours de mathématiques de cinquième année et de sixième année secondaire utiliseront d’ailleurs directement ou indirectement ce que nous allons construire dans ce chapitre.

Pour cette raison, il est indispensable de maîtriser la matière de ce chapitre au terme de celui-ci, sans quoi la compréhension de ce qui suivra sera rendue difficile, sinon impossible.

Étant donné la difficulté conceptuelle de la notion de limite et l’optique que le programme lui réserve dans le cours de mathématiques du secondaire, nous avons choisi de la faire apparaître par l’intermédiare des fonctions continues plutôt que par les limites de suites. Par expérience, cette dernière approche à l’énorme défaut que les élèves semblent avoir énormément de mal à généraliser rapidement l’idée de limite de suite pour arriver à l’idée de limite de fonction. Néanmoins, la partie optionnelle du chapitre précédent contient tout de même une telle approche et il est grandement conseillé de lire celle-ci dans le courant du début de ce chapitre sur les fonctions continues et les limites de fonctions.

Si le sujet des fonctions continues peut être amené de façon relativement intuitive et introduit à l’aide d’un problème (et de sa solution) assez amusant et intéressant, le sujet des limites de fonctions devra être découvert au moins dans un premier temps de façon purement technique. Pas d’inquiétude néanmoins : nous découvrirons dès le prochain chapitre des exemples concrets d’application de cette notion.

Enfin, il est vivement conseillé de maîtriser parfaitement l’ensemble de la matière vue jusqu’à présent portant sur les fonctions. Il serait extrêmement dommageable que la compréhension de ce chapitre soit rendue encore plus difficile par un manque de maîtrise des prérequis.