3.5 Limites à gauche et limites à droite

Dans certains cas, il peut être intéressant d’étudier le comportement d’une fonction au fur et à mesure que l’on se rapproche d’un point où il est possible de parler de limite pour cette fonction mais en ne considérant que les points du graphe de la fonction dont les abscisses sont plus grandes ou plus petites que le point considéré.

Donnons immédiatement un exemple.

Exemple 3.5.1. La fonction dont le graphe est :

n’a pas de limite en . Lorsque les abscisses se rapprochent de , les points du graphe de ne se rapprochent pas définitivement et uniformément d’une seule valeur.

Par contre, si nous ne considérons que les points du graphe dont les abscisses sont supérieures à , la fonction réduite possède bien une limite en :

On a : . De même, si nous ne considérons que les points du graphe dont les abscisses sont inférieures à , la fonction réduite possède bien une limite en :

On a : .

Une autre façon d’exprimer ce que nous venons de dire est d’utiliser les notions de limite à gauche et de limite à droite. Lorsqu’on affirme que , cela signifie précisément que la fonction possède une limite à droite de 0 et que celle-ci vaut , ce qu’on note :

Lorsqu’on affirme que , cela signifie précisément que la fonction possède une limite à gauche de 0 et que celle-ci vaut , ce qu’on note :

Donnons à présent la définition générale de limite à droite et de limite à gauche : il s’agit simplement d’utiliser la définition de limite et de restriction de fonction.

Définition 3.5.2. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point . Soit .

On dit que a une limite à droite en si la fonction a comme limite en . On note :

On dit que a une limite à gauche en si la fonction a comme limite en . On note :

Remarque 3.5.3. Certaines personnes préfèrent utiliser les notations pour les limites à droite et pour les limites à gauche. Je vous déconseille d’utiliser ces notations.

Donnons quelques exemples et contre-exemples.

Exemple 3.5.4. La fonction dont le graphe est :

a une limite à droite en qui vaut : .

Par contre, elle n’a pas de limite à gauche en .

Exemple 3.5.5. La fonction carrée dont le graphe est :

a une limite à droite en qui vaut : .

Par ailleurs, a aussi une limite à gauche en qui vaut aussi : .

Contre-exemple 3.5.6. La fonction inverse dont le graphe est :

n’a pas de limite à droite en et n’a pas de limite à gauche en .

Dans tous les exemples déjà rencontrés, remarquons que le seul où la fonction admet une limite à droite et une limite à gauche au point considéré et que ces deux limites sont égales correspond au cas où la fonction admet une (véritable) limite en ce point, qui est d’ailleurs égale à l’unique valeur de la limite à droite et de la limite à gauche.

Ce n’est pas un hasard : pour avoir une limite en un point , une fonction doit se rapprocher de façon définitive et uniforme d’une unique valeur, elle doit donc avoir une limite à gauche en ce point et une limite à droite en ce point et celles-ci doivent être identiques. L’inverse est vrai aussi : si une fonction a une limite à gauche en un point et une limite à droite en et que celles-ci sont égales, alors se rapprochent bien définitivement et uniformément de cet unique nombre au fur et à mesure qu’on se rapproche de ! Plus rigoureusement, on peut démontrer :

Proposition 3.5.7. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point . Soit .

Alors possède une limite en si et seulement si possède une limite à droite en et une limite à gauche en et que celles-ci sont égales : .

Ce résultat est assez intuitif. Malheureusement, nous ne le démontrerons pas dans le cadre de ce cours.

Remarque 3.5.8. Certaines personnes aiment beaucoup les limites à droite et les limites à gauche, à tel point qu’elles définissent celles-ci en premier et les utilisent pour définir la notion de limite générale.

Pourtant, c’est bien la notion de limite qui est fondamentale, si utile et qui permet de démontrer d’impressionnants résultats mathématiques. De plus, les notions de limite à droite et limite à gauche ne se généralisent pas lorsqu’on ne peut pas parler de droite et de gauche tandis que la notion de limite plus gobale se généralise dans de nombreux contextes.

Pour ces raisons, nous n’insisterons volontairement pas sur les notions de limites à droite et de limite à gauche dans ce cours.

Avant de nous familiariser un peu avec ces nouvelles notions que sont les limites à droite et les limites à gauche, découvrons l’équivalent de ces notions pour la divergence. Commençons avec un exemple.

Exemple 3.5.9. Considérons la fonction inverse dont le graphe est :

Comme nous l’avons vu dans la section précédente, cette fonction ne diverge pas (que ce soit vers ou en ). Par contre, si nous ne considérons que les points de son domaine qui sont plus grands ou égaux à , on obtient la fonction dont le graphe est :

Cette fonction diverge bien vers en : .

De même, si nous ne considérons que les points du domaine de la fonction inverse qui sont plus petits ou égaux à , on obtient la fonction dont le graphe est :

Cette fonction diverge bien vers en : .

Comme avec les limites à droite et les limites à gauche, on peut exprimer ce que nous venons de dire avec les notions de divergence à droite et divergence à gauche . Pour cette exemple, on peut dire que la fonction inverse diverge vers à droite de , ce qu’on note et qu’elle diverge vers à gauche de , ce qu’on note .

Pour donner la définition générale de divergence à droite et de divergence à gauche, il suffit de combiner les notions de divergence générale avec celle de restriction.

Définition 3.5.10. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point . Soit .

On dit que diverge vers :math:`+infty` à droite en si la fonction diverge vers en . On note :

On dit que diverge vers :math:`-infty` à droite en si la fonction diverge vers en . On note :

On dit que a diverge vers :math:`+infty` à gauche en si la fonction diverge vers en . On note :

On dit que a diverge vers :math:`-infty` à gauche en si la fonction diverge vers en . On note :

On a un résultat équivalent pour les divergence à gauche et à droite à celui qu’on avait pour les limites :

Proposition 3.5.11. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point . Soit .

Alors diverge vers en si et seulement si diverge vers à droite en et diverge vers à gauche en .

De plus, diverge vers en si et seulement si diverge vers à droite en et diverge vers à gauche en .

Une fois de plus, nous ne pourrons malheureusement pas démontrer cette proposition dans le cadre de ce cours.

Avant de passer aux exercices, quelques exemples et contre-exemples.

Exemple 3.5.12. La fonction dont le graphe est :

diverge vers à droite en et diverge vers à gauche en . Elle diverge vers en .

Exemple 3.5.13. La fonction dont le graphe est :

diverge vers à gauche en . Elle ne diverge pas à droite en .

Exemple 3.5.14. La fonction carrée dont le graphe est :

ne diverge ni à gauche ni à droite en .

Exercice 3.5.15. Pour la fonction dont le graphe est ci-dessous, quels sont les points où la fonction a une limite à gauche ou à droite mais n’a pas de limite ? Quels sont les points où la fonction diverge à gauche ou à droite mais ne diverge pas ? Pour tous ces points, donner les limites ou les divergences à gauche ou à droite éventuelles.

Solution. Le seul point où la fonction n’a pas de limite ou ne diverge pas est . La fonction a une limite à gauche en qui vaut et diverge vers à droite en .

Exercice 3.5.16. Tracer le graphe d’une fonction ayant les propriétés suivantes :

Solution.

Exemple 3.5.17. Déterminer quelles sont les limites et les divergence à gauche et à droite.

Exercice 3.5.18. Tracer le graphe d’une fonction qui est continue partout sauf en et , qui vaut en , en et en , qui a comme limite à gauche en et comme limite à droite en , qui a comme limite à gauche en et qui diverge vers à droite en , qui diverge vers à gauche en et qui diverge vers à droite en .

Solution.

Exercice 3.5.19. Déterminer si les fonctions convergent ou divergent à droite ou à gauche au point considéré. Si elles convergent à droite ou à gauche, donner la limite à droite ou à gauche. Si elles divergent à droite ou à gauche, donner le type de divergence (vers ou vers ). N’hésitez pas à vous aider d’un graphe.