3.4 Divergence de fonctions en un point

Lorsqu’une fonction possède une limite en un point, on dit qu’elle converge en ce point. Que peut-il se passer lorsque qu’une fonction ne converge pas en un point, c’est-à-dire ne possède pas de limite en ce point ?

Il y a de nombreuses possibilités, mais une de ces possibilités est particulièrement intéressante : la fonction peut diverger. Pour découvrir cette nouvelle notion, commençons avec un exemple.

Exemple 3.4.1. Considérons la fonction :

dont voici le graphe :

Que se passe-t-il quand les se rapprochent de ? Les ne se rapprochent certainement pas d’un nombre réel ! Si on teste avec certaines valeurs de qui se rapprochent de , on constate immédiatement que les deviennent de plus en plus grands :

On remarque même qu’à condition de se rapprocher suffisament de , les valeurs de la fonction deviendront aussi grandes que l’on veut. Autrement dit, on peut se donner n’importe quelle borne supérieure, les valeurs de cette fonction dépassent par le haut cette borne supérieure de façon uniforme et définitive à condition de choisir des suffisament proche de . Ce comportement est appelé divergence (vers ) et nous venons d’en donner la définition intuitive.

Donnons à présent la définition rigoureuse de divergence (vers ).

Définition 3.4.2. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point . Soit .

On dit que diverge (vers ) en si pour toute borne supérieure , il existe tel que pour tout qui est à une distance plus petite ou égale de que , c’est-à-dire tel que , on a nécessairement que est plus grand ou égal à , c’est-à-dire que . Dans ce cas, on note :

Remarque 3.4.3. Attention : cette remarque est extrêmement importante.

Lorsqu’une fonction diverge (vers ) en un point, elle n’a pas de limite en ce point. Diverger vers ne signifie pas se rapprocher d’un nombre appelé ( n’est pas un nombre réel). On utilise pourtant la même notation pour parler de limite et de divergence : cela est extrêmement malheureux et absolument pas pédagogique. Cette notation étant néanmoins utilisée par tous, nous l’utiliserons également.

Insistons bien : ne se lit pas la fonction a comme limite/converge vers en mais bien la fonction diverge vers en . La convergence (avoir une limite) et la divergence sont deux notions complétement différentes.

Exemple 3.4.4. La fonction

dont le graphe est :

diverge vers en . On note : .

Il existe un autre phénomène possible lorsqu’une fonction ne converge pas en un point, très semblable à la divergence vers : il s’agit de la divergence vers . Pour l’introduire, commençons avec un exemple.

Exemple 3.4.5. Considérons la fonction

dont le graphe est :

Que se passe-t-il quand les se rapprochent de ? À nouveau, les ne se rapprochent certainement pas d’un nombre réel ! Si on teste avec certaines valeurs de qui se rapprochent de , on constate immédiatement que les deviennent de plus en plus grands négativement :

On remarque même qu’à condition de se rapprocher suffisament de , les valeurs de la fonction deviendront aussi grandes négativement que l’on veut. Autrement dit, on peut se donner n’importe quelle borne inférieure, les valeurs de cette fonction dépassent par le bas cette borne supérieure de façon uniforme et définitive à condition de choisir des suffisament proche de . Ce comportement est appelé divergence (vers ) et nous venons d’en donner la définition intuitive.

Donnons à présent la définition rigoureuse de divergence (vers ).

Définition 3.4.6. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point . Soit .

On dit que diverge (vers ) en si pour toute borne supérieure , il existe tel que pour tout qui est à une distance plus petite ou égale de que , c’est-à-dire tel que , on a nécessairement que est plus grand ou égal à , c’est-à-dire tel que . Dans ce cas, on note :

Remarque 3.4.7. Même remarque que pour la divergence vers : diverger vers ne signifie pas avoir comme limite un nombre appelé .

Exemple 3.4.8. La fonction

dont le graphe est :

diverge vers en . On note : .

Les trois notions de convergence (avoir une limite), divergence vers et divergence

vers sont mutuellement exclusives. En effet :

• Si une fonction converge (a une limite) en un point, ses valeurs ne peuvent pas devenir arbitrairement grandes (que ce soit positivement ou négativement) puisque qu’elle se rapproche de la limite (qui est un nombre réel).

• Si une fonction diverge vers en un point, ses valeurs ne peuvent se rapprocher d’un nombre réel (puisque celles-ci deviennent de plus en plus grandes positivement au fur et à mesure qu’on se rapproche du point où la fonction diverge) et ne peuvent devenir arbitrairement grandes négativement (puisque celles-ci deviennent de plus en plus grandes positivement au fur et à mesure qu’on se rapproche du point où la fonction diverge).

• Si une fonction diverge vers en un point, ses valeurs ne peuvent se rapprocher d’un nombre réel (puisque celles-ci deviennent de plus en plus grandes négativement au fur et à mesure qu’on se rapproche du point où la fonction diverge) et ne peuvent devenir arbitrairement grandes négativement (puisque celles-ci deviennent de plus en plus grandes négativement au fur et à mesure qu’on se rapproche du point où la fonction diverge).

Pour résumer ces trois remarques, nous avons la proposition suivante :

Proposition 3.4.9. Soit un intervalle éventuellement privé d’un point . Soit .

• Si possède une limite en , alors ne diverge pas vers en et ne diverge pas vers en .

• Si diverge vers en , alors ne possède pas une limite en et ne diverge pas vers en .

• Si diverge vers en , alors ne possède pas une limite en et ne diverge pas vers en .

Avant de nous lancer dans les exercices pour nous familiariser avec ces deux nouvelles notions de divergence vers et de divergence vers , donnons quelques exemples et contre-exemples supplémentaires.

Contre-exemple 3.4.10. Les seules fonctions de référence qui ne sont pas définies sur tout sont la fonction racine carrée et la fonction inverse. Nous savons déjà que la fonction racine carrée a comme limite lorsque tend vers , mais qu’en est-il de la fonction inverse ? Diverge-t-elle ? Rappelons que la fonction inverse est la fonction :

Son graphe est le suivant.

Lorsque les se rapprochent de , les nombres ne se rapprochent certainement pas d’un nombre de manière uniforme et définitive. Mais ils ne deviennent pas non plus arbitrairement grands positivement de manière uniforme et définitive (ils le deviennt à droite de , mais pas à gauche ) et ils ne deviennent pas non plus arbitrairement grands négativement de manière uniforme et définitive (ils le deviennt à gauche de , mais pas à droite ). En conclusion, la fonction inverse n’a pas de limite en , mais ne diverge pas non plus en (que ce soit vers ou vers ).

Remarque 3.4.11. La fonction inverse ne diverge pas vers ou vers en , mais par contre son produit avec elle-même diverge vers en : voir exemple 3.4.4.

Exemple 3.4.12. La fonction dont le graphe est le suivant :

diverge vers en . On note : .

Exemple 3.4.13. La fonction dont le graphe est le suivant :

diverge vers en (même si la fonction est définie en de telle sorte que ). On note : .

Contre-exemple 3.4.14. La fonction dont le graphe est le suivant :

ne converge pas et ne diverge pas en .

Contre-exemple 3.4.15. La fonction dont le graphe est le suivant :

ne converge pas et ne diverge pas en .

À présent, exerçons-nous un peu.

Exercice 3.4.16. À l’aide d’un graphique, déterminer si les fonctions divergent au point considéré. Si oui, donner le type de divergence (vers ou vers ).

Exercice 3.4.17. Voici le graphe d’une fonction réelle . Déterminer l’ensemble des points où elle diverge.

Exercice 3.4.18. Tracer le graphe d’une fonction définie sur qui diverge vers en et qui ne diverge et ne converge pas en .

Solution.

Exercice 3.4.19. Déterminer si les fonctions dont les graphes sont donnés ci-dessous divergent aux points indiqués.

Solution.

La fonction ne diverge pas en . La fonction ne diverge pas en .

La fonction ne diverge pas en . La fonction ne diverge pas en . La fonction ne diverge pas en . .

Exercice 3.4.20 Tracer le graphe d’une fonction ayant les propriétés suivantes :

Solution.

Exercice 3.4.21 Tracer le graphe d’une fonction qui est continue partout sauf en et , qui a comme limite en et comme limite en , qui n’a pas de limite en , qui diverge vers en -3 et qui ne diverge pas en .

Solution.

Exercice 3.4.22 Déterminer si les fonctions convergent ou divergent au point considéré. Si elles convergent, donner la limite. Si elles divergent, donner le type de divergence (vers ou vers ).