2.5 Prolongements continus¶

Exemple 2.5.1. Voici le graphe d’une fonction définie sur $\text{[math]}$ qui est continue :

Il ne fait pas sens de dire qu’elle est discontinue (ou continue) en $\text{[math]}$ puisqu’elle n’est pas définie en $\text{[math]}$ .

Exemple 2.5.2. Voici le graphe d’une autre fonction définie sur $\text{[math]}$ qui est continue :

Il ne fait pas sens de dire qu’elle est continue (ou discontinue) en $\text{[math]}$ puisqu’elle n’est pas définie en $\text{[math]}$ .

Dans les deux cas, nous avons une fonction continue. Néanmoins,
intuitivement, il y a une différence de ces deux situations. Pour la
première fonction, il n’est pas possible de la prolonger en une
fonction continue, c’est-à-dire d’étendre la fonction en la
définissant en  de sorte que le résultat final soit continu,
même en . Par contre, pour la deuxième fonction, il est
possible de trouver un tel prolongement continu : il suffit d’étendre
la fonction en la définissant en  en décidant que le
prolongement de la fonction vaut  en . Cette
intuition correspond au fait que la deuxième fonction possède un
prolongement continu tandis que la première non.
Donnons la définition de prolongement continu d’une fonction.

Définition 2.5.3. Soit un intervalle $\text{[math]}$ et soit $\text{[math]}$ . Soit $\text{[math]}$ .

Un prolongement continu de $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ est une fonction $\text{[math]}$ qui est continue (y compris en $\text{[math]}$ ) et telle que pour tout $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$ .

Exemple 2.5.4. La fonction de l’exemple 2.5.1 ne possède pas de prolongement continu. Par contre, la fonction de l’exemple 2.5.2 possède un prolongement continu dont le graphe est le suivant :

Dans le cas de cet exemple, puisque nous possédions déjà le graphe de la fonction, ce prolongement continu n’était pas très difficile à trouver.

Mais plus généralement, comment savoir si pour une fonction $\text{[math]}$ (où $\text{[math]}$ est un intervalle et $\text{[math]}$ ) donnée, cette fonction admet un prologement continu ? Intuitivement, il n’est pas très difficle de répondre à cette question : il faut que la fonction $\text{[math]}$ se rapproche d’une certaine valeur lorsqu’on se rapproche de $\text{[math]}$ , et ce de manière uniforme (il faut que la valeur de laquelle $\text{[math]}$ se rapproche par la gauche soit la même que celle de laquelle $\text{[math]}$ se rapproche par la droite ). Néanmoins, cette réponse intuitive soulève au moins trois questions.

Que signifie rigoureusement que la fonction $\text{[math]}$ se rapproche d’une valeur lorsqu’on se rapproche de $\text{[math]}$ ?
Comment savoir si la fonction $\text{[math]}$ se rapproche bien d’une certaine valeur de manière uniforme et définitive lorsqu’on se rapproche de $\text{[math]}$ ?
Si $\text{[math]}$ se rapproche bien d’une certaine valeur de manière uniforme et définitive lorsqu’on se rapproche de $\text{[math]}$ , comment calculer cette valeur ?

Pour répondre à ces questions, nous avons besoin d’une nouvelle notion : celle de limite de fonction.

1: Remarque : pour la plupart des fonctions de référence, la démonstration n’est pas très compliquée. N’hésitez pas à essayer de faire vous-même la preuve par exemple pour une fonction constante ou pour la fonction identité.
2: La démonstration de ce théorème est en fait assez compliquée et nécessite de bien comprendre les propriétés fondamentales des nombres réels. Heureusement, son énoncé est très intuitif.
3: La démonstration de ce théorème est aussi assez compliquée.