4.3 Divergence vers $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ¶

De la même manière que la notion de limite nous permet d’exprimer clairement l’idée que la suite qui provient de la fonction inverse se rapproche de $\text{[math]}$ , de façon définitive, au fur et à mesure que le rang grandit, la notion de divergence va nous permettre d’exprimer clairement l’idée que la suite qui provient de la fonction identité (par exemple) grandit de plus en plus, de façon définitive, au fur et à mesure que le rang augmente :

Théorème 4.3.1. Soit une suite $\text{[math]}$ . La suite $\text{[math]}$ diverge vers $\text{[math]}$ si pour tout nombre réel $\text{[math]}$ , il existe $\text{[math]}$ tel que pour tout $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ , on a

Dans ce cas, on note $\text{[math]}$ et on dit que la suite diverge vers $\text{[math]}$ .

Remarque 4.3.2. Attention ! Lorsqu’on écrit $\text{[math]}$ , on ne dit absolument pas la suite $\text{[math]}$ a une limite et que cette limite est le nombre $\text{[math]}$ ! La notation est extrêmement similaire à celle de limite, mais le sens de celle-ci est très différent.

On peut définir de façon similaire la divergence vers $\text{[math]}$ :

Définition 4.3.3. Soit une suite $\text{[math]}$ . La suite $\text{[math]}$ diverge vers $\text{[math]}$ si pour tout nombre réel $\text{[math]}$ , il existe $\text{[math]}$ tel que pour tout $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ , on a

Dans ce cas, on note $\text{[math]}$ et on dit que la suite diverge vers $\text{[math]}$ .

Passons en revue les suites issues des fonctions de référence et déterminons si elles divergent.

Suite obtenue à partir de la fonction constante de constante $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ est un nombre réel quelconque) :

Cette suite a pour limite $\text{[math]}$ et ne diverge pas.
Suite obtenue à partir de la fonction identité :

Cette suite diverge vers $\text{[math]}$ .
Suite obtenue à partir de la fonction carrée :

Cette suite diverge vers $\text{[math]}$ .
Suite obtenue à partir de la fonction cubique :

Cette suite diverge vers $\text{[math]}$ .
Suite obtenue à partir de la fonction racine carrée :

Cette suite diverge vers $\text{[math]}$ .
Suite obtenue à partir de la fonction racine cubique :

Cette suite diverge vers $\text{[math]}$ .
Suite obtenue à partir de la fonction inverse :

Cette suite a comme limite $\text{[math]}$ et ne diverge pas.
Suite obtenue à partir de la fonction valeur absolue :

Cette suite diverge vers $\text{[math]}$ .

On a des résultats similaires à ceux de la proposition 4.2.1 pour deux suites divergentes :

Proposition 4.3.4. Soient deux suites $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ qui divergent toutes les deux vers $\text{[math]}$ . Alors :

La suite $\text{[math]}$ diverge vers $\text{[math]}$ .
Soit $\text{[math]}$ . Si $\text{[math]}$ , la suite $\text{[math]}$ diverge vers $\text{[math]}$ . Si $\text{[math]}$ , la suite $\text{[math]}$ converge vers $\text{[math]}$ . Si $\text{[math]}$ , la suite $\text{[math]}$ diverge vers $\text{[math]}$ .
La suite $\text{[math]}$ diverge vers $\text{[math]}$ .
Pour la division, il n’existe pas de règle générale.

On a également des résultats similaires à ceux de la proposition 4.2.1 pour une suite convergente et une suite divergente :

Proposition 4.3.5. Soient deux suites $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ telles que $\text{[math]}$ converge vers $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ diverge vers $\text{[math]}$ . Alors :

La suite $\text{[math]}$ diverge vers $\text{[math]}$ .
Si $\text{[math]}$ , la suite $\text{[math]}$ diverge vers $\text{[math]}$ . Si $\text{[math]}$ , la suite $\text{[math]}$ diverge vers $\text{[math]}$ . Si $\text{[math]}$ , pas de règle générale.
La suite $\text{[math]}$ converge vers $\text{[math]}$ .
Si $\text{[math]}$ , alors la suite $\text{[math]}$ diverge vers $\text{[math]}$ . Si $\text{[math]}$ , alors la suite $\text{[math]}$ diverge vers $\text{[math]}$ . Si $\text{[math]}$ , pas de règle générale.