4 Limites de suites (optionnel)¶
4.1 Définition¶
Dans l’introduction, nous avons discuté des problèmes qui surgissent
rapidement si l’on considère l’infini comme un nombre réel tel que
ou encore 
.
Néanmoins, si l’on considère par exemple la suite
on aimerait malgré tout pouvoir exprimer clairement l’idée que les termes de cette suite se rapprochent de
, de façon définitive, au fur et à mesure que le rang grandit :
définie ci-dessus se rapproche de
, de façon définitive, au fur et à mesure que le rang
grandit, il est nécessaire que que pour toute borne réelle strcitement
positive 
que l’on se fixe, il doit avoir un certain
tel qu’à partir de ce moment 
, tous
les termes de la suite sont à une distance au plus de
(sinon, il existera toujours des termes de la suite qui
s’éloigneront de plutôt que de s’en rapprocher, quel que
soit l’endroit où on est arrivé dans la suite).Définition 4.1.1. Soit une suite . La suite
a une limite 
si pour tout nombre réel strictement positif , il existe
tel que pour tout 
avec
, on a
Dans ce cas, on note 
et on
dit que la suite converge vers 
.
Passons en revue les suites issues des fonctions de référence et déterminons si elles ont une limite.
Suite obtenue à partir de la fonction constante de constante
( est un nombre réel quelconque) :
Cette suite a trivialement pour limite
:
.Suite obtenue à partir de la fonction identité :
Cette suite n’a pas de limite.
Suite obtenue à partir de la fonction carrée :
Cette suite n’a pas de limite.
Suite obtenue à partir de la fonction cubique :
Cette suite n’a pas de limite.
Suite obtenue à partir de la fonction racine carrée :
Cette suite n’a pas de limite.
Suite obtenue à partir de la fonction racine cubique :
Cette suite n’a pas de limite.
Suite obtenue à partir de la fonction inverse :
Cette suite a comme limite
:
.Suite obtenue à partir de la fonction valeur absolue :
Cette suite n’a pas de limite.
Ces limites de base vont nous permettre de calculer des limites plus complexes grâce aux résultats de la prochaine section.
Exercice 4.1.2 (Difficile). À partir de la définition de limite, démontrer que si
, la suite
a pour limite .
Solution Soit un nombre réel strictement positif fixé. Prenons
. Alors, pour tout avec
, on a 
, donc
.
Exercice 4.1.3 (Très difficile). À partir de la définition démontrer que la suite
a pour limite .
Solution Soit un nombre réel strictement positif fixé. Prenons
tel que soit strictement plus grand
que 
(ce qui implique que
). Alors, pour tout
avec , on a
,
donc 
.
4.2 Propriétés des limites¶
Donnons à présent plusieurs résultats importants concernant les limites. Commençons par une proposition qui décrit comment se combinent les limites de deux suites convergentes lorsqu’on les combinent entre elles.
Proposition 4.2.1. Soient deux suites et
qui convergent respectivement vers
et 
. Alors :
La suite
converge et on a
.Si
, la suite
converge et on a
.La suite
convergent et on a
.Si
, la suite
converge et on a
.
À présent, décrivons comme intéragissent les limites avec les inégalités (non-strictes) :
Théorème 4.2.2 (Théorème du sandwich). Soient trois suites ,
et 
avec pour tout : 
et
telles que converge vers
et 
converge
vers 
. Alors :
Sa suite
converge vers
, on a nécessairement 
.Si
, alors la suite
converge nécessairement vers un nombre qui
est en fait égal à et 
.
Pour terminer, donnons un théorème nommé en l’honneur du mathématicien qui a inventé la définition moderne de limite :
Théorème 4.2.3 (Théorème du Weierstrass). Soit une suite . Si
est croissante et est majorée, alors
converge nécessairement et sa limite
est le plus petit de ses majorants.
Remarque 4.2.4. Ce théorème reste valable si l’on remplace croissante par décroissante, majorée par minorée et plus petit de ses majorants par plus grand de ses minorants .
Exercice 4.2.5.
