4 Limites de suites (optionnel)¶

Dans cette section, nous allons présenter une notion qui nous accompagnera tout au long des deux prochains chapitres : la notion de limite. Dans un premier temps, nous allons nous intéresser à cette notion dans un cadre simple, celui des limites de suites.

Malheureusement, les démonstrations des résultats présentés dans cette section ne pourront être données dans le cadre de ce cours.

4.1 Définition¶

Dans l’introduction, nous avons discuté des problèmes qui surgissent rapidement si l’on considère l’infini comme un nombre réel tel que $\text{[math]}$ ou encore $\text{[math]}$ .

Néanmoins, si l’on considère par exemple la suite

on aimerait malgré tout pouvoir exprimer clairement l’idée que les termes de cette suite se rapprochent de $\text{[math]}$ , de façon définitive, au fur et à mesure que le rang grandit :

Une définition rigoureuse de ce phénomène peut être obtenue en prenant le point de vue suivant : si on affirme que la suite $\text{[math]}$ définie ci-dessus se rapproche de $\text{[math]}$ , de façon définitive, au fur et à mesure que le rang grandit, il est nécessaire que que pour toute borne réelle strcitement positive $\text{[math]}$ que l’on se fixe, il doit avoir un certain $\text{[math]}$ tel qu’à partir de ce moment $\text{[math]}$ , tous les termes de la suite sont à une distance au plus $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ (sinon, il existera toujours des termes de la suite qui s’éloigneront de $\text{[math]}$ plutôt que de s’en rapprocher, quel que soit l’endroit où on est arrivé dans la suite).

De cet exemple, on tire la définition suivante :

Définition 4.1.1. Soit une suite $\text{[math]}$ . La suite $\text{[math]}$ a une limite $\text{[math]}$ si pour tout nombre réel strictement positif $\text{[math]}$ , il existe $\text{[math]}$ tel que pour tout $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ , on a

Dans ce cas, on note $\text{[math]}$ et on dit que la suite converge vers $\text{[math]}$ .

Passons en revue les suites issues des fonctions de référence et déterminons si elles ont une limite.

Suite obtenue à partir de la fonction constante de constante $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ est un nombre réel quelconque) :

Cette suite a trivialement pour limite $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ .
Suite obtenue à partir de la fonction identité :

Cette suite n’a pas de limite.
Suite obtenue à partir de la fonction carrée :

Cette suite n’a pas de limite.
Suite obtenue à partir de la fonction cubique :

Cette suite n’a pas de limite.
Suite obtenue à partir de la fonction racine carrée :

Cette suite n’a pas de limite.
Suite obtenue à partir de la fonction racine cubique :

Cette suite n’a pas de limite.
Suite obtenue à partir de la fonction inverse :

Cette suite a comme limite $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ .
Suite obtenue à partir de la fonction valeur absolue :

Cette suite n’a pas de limite.

Ces limites de base vont nous permettre de calculer des limites plus complexes grâce aux résultats de la prochaine section.

Exercice 4.1.2 (Difficile). À partir de la définition de limite, démontrer que si $\text{[math]}$ , la suite

a pour limite $\text{[math]}$ .

Solution Soit un nombre réel strictement positif $\text{[math]}$ fixé. Prenons $\text{[math]}$ . Alors, pour tout $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ .

Exercice 4.1.3 (Très difficile). À partir de la définition démontrer que la suite

a pour limite $\text{[math]}$ .

Solution Soit un nombre réel strictement positif $\text{[math]}$ fixé. Prenons $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ soit strictement plus grand que $\text{[math]}$ (ce qui implique que $\text{[math]}$ ). Alors, pour tout $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ .

4.2 Propriétés des limites¶

Donnons à présent plusieurs résultats importants concernant les limites. Commençons par une proposition qui décrit comment se combinent les limites de deux suites convergentes lorsqu’on les combinent entre elles.

Proposition 4.2.1. Soient deux suites $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ qui convergent respectivement vers $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Alors :

La suite $\text{[math]}$ converge et on a $\text{[math]}$ .
Si $\text{[math]}$ , la suite $\text{[math]}$ converge et on a $\text{[math]}$ .
La suite $\text{[math]}$ convergent et on a $\text{[math]}$ .
Si $\text{[math]}$ , la suite $\text{[math]}$ converge et on a $\text{[math]}$ .

À présent, décrivons comme intéragissent les limites avec les inégalités (non-strictes) :

Théorème 4.2.2 (Théorème du sandwich). Soient trois suites $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ avec pour tout $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ et telles que $\text{[math]}$ converge vers $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ converge vers $\text{[math]}$ . Alors :

Sa suite $\text{[math]}$ converge vers $\text{[math]}$ , on a nécessairement $\text{[math]}$ .
Si $\text{[math]}$ , alors la suite $\text{[math]}$ converge nécessairement vers un nombre $\text{[math]}$ qui est en fait égal à $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Pour terminer, donnons un théorème nommé en l’honneur du mathématicien qui a inventé la définition moderne de limite :

Théorème 4.2.3 (Théorème du Weierstrass). Soit une suite $\text{[math]}$ . Si $\text{[math]}$ est croissante et est majorée, alors $\text{[math]}$ converge nécessairement et sa limite est le plus petit de ses majorants.

Remarque 4.2.4. Ce théorème reste valable si l’on remplace croissante par décroissante, majorée par minorée et plus petit de ses majorants par plus grand de ses minorants .

Exercice 4.2.5.