2.3 Suites géométriques

Considérons les trois suites dont les premiers termes sont :

Elles ont un point commun : pour passer d’un terme au suivant, on multiplie toujours par un même nombre. Pour la première suite, ce nombre est , pour la deuxième, ce nombre est , pour la troisième, ce nombre est . C’est le principe qui définit les suites géométriques.

Définition 2.3.1.

Une suite géométrique est une suite telle que :

où est le terme initial et est la raison (ce par quoi on multiplie pour passer d’un terme au suivant).

Exemple 2.3.2. La suite dont les premiers termes sont est une suite géométrique de terme initial et de raison .

Remarque 2.3.3. Puisque pour passer d’un terme au suivant dans une suite géométrique, il suffit de multiplier par la raison, les termes successifs d’une suite géométrique de terme initial et de raison peuvent être notés :

Il n’est dès lors pas surprenant qu’on puisse démontrer qu’une suite géométrique de terme initial et de raison est égale à la suite :

Ce qui correspond à la définition de cette suite en fonction du rang.

Exemple 2.3.4. La suite dont les premiers termes sont est une suite arithmétique de terme initial et de raison . Elle est égale à la suite :

Et en effet, on calcule : , , , , …

Exercice 2.3.5. Soit une suite géométrique telle que :

1. et

2. et

3. 

4.       

5. et

Pour chacune de ces possibilités, calculer , et le terme de rang .

Exercice 2.3.6. Soit une suite telle que :

1.       

2. 

3. 

4. 

Pour chacune de ces possibilités, déterminer s’il s’agit d’une suite géométrique.

Exercice 2.3.7.